Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события

СОДЕРЖАНИЕ 
 

ВВЕДЕНИЕ 

      В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.

      Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.

      В данной работе мы обратим внимание прежде всего на подходы к определению  категории «вероятность». Второй интересующий нас момент – теоремы сложения и умножения вероятностей. 

1. Определение вероятности 

      Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий G, нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие – меньшей. Так, например, события A= {появление дамы пик} и C = {появление карты бубновой масти} различаются возможностью происхождения в одних и тех же условиях. А события A = {появление герба} и B = {появление цифры} одинаково возможны при одном подбрасывании «правильной» монеты, т. е. монеты правильной формы и сделанной из однородного материала.

      Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени  их возможности, очевидно необходимо с  каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем  более возможно событие. Такое число  назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).

      Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

      Противоположностью  по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти.

      Естественно приписать невозможному событию  вероятность, равную нулю. Таким образом, P(Ø)= 0, 0 < P(A) <1.

      Для определения вероятности события существуют различные подходы. 

1.1 Классическое определение 

      Классическое  определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

      Если  событие А подразделяется на m частных  случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется как 

        (1.1) 

      Справедливость  классического определения вероятности, т. е. справедливость формулы (1.1) можно обосновать следующим образом. Если под вероятностью события А понимать число 

      где p(ω) – вероятности элементарных событий, определенные таким образом, что

      то  для пространства элементарных событий  Ω , состоящего из n равновозможных исходов, для всех . Тогда вероятность события А = { }, состоящего из m элементов, будет равна отношению числа элементарных событий , входящих в А, к общему числу элементарных событий в Ω: 

      Здесь число элементов любого конечного  множества M будем обозначать .

      По-иному  можно сказать, что вероятность  события А, определяемая по формуле (1.1), равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятных наступлению события А, к числу всех возможных исходов испытания при условии, что все эти исходы равновозможны или равновероятны.

      Приведем  примеры классического определения  вероятностей.

      Пример 1. Правильная монета подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: А = {появление герба}, В = {появление цифры}.

      Решение. В этом простейшем примере Ω = {ω1 ,ω2} , А={ω1} ; В={ω2} , где ω1 = {г}; ω2 = {ц}. Тогда по формуле (1.1)  

       . 

       Пример 2. Стандартная игральная кость брошена один раз. Каковы вероятности событий: А = {выпадения четного числа очков}, В = {выпадения числа очков, кратного трем}, С = {выпадение дробного числа очков}, D = {выпадение любого числа очков}.

      Решение. Пространство элементарных событий  Ω = {ω1 ,ω2 ,...,ω6} , где ωi = {выпадение i очков, i = 1, 2,…,6}, = n = 6. Здесь А = {ω2 ,ω4 ,ω6}, = 3; В = {ω3 ,ω6} , = 2; С = Ø , = 0 ; D = {ω1 ,ω2 ,...,ω6}, = 6 .

      По  классическому определению (1.1) получаем: 

      Классическое  определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом «равновероятных» исходов. В этом случае целесообразно переходить на геометрический язык и пользоваться геометрическим подходом к определению вероятности или геометрическими вероятностями. 

1.2 Геометрическое определение 

      Геометрическое  определение вероятности может  быть использовано в том случае, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области (длине, площади, объему и т. д.) и не зависит от ее расположения и формы.

      Если  пространство Ω непрерывное и  состоит из равновозможных элементарных исходов, то для любого события  

        (1.2)

       где под mes (от английского measure), обозначена любая геометрическая мера этого пространства (длина, площадь, объем и т. д.).

      Геометрическая  вероятность (1.2), так же как и классическая (1.1), равна отношению геометрической меры области, благоприятной наступлению события А, к мере всей области Ω.

      Пример  3. В точке С, положение которой на телефонной линии связи KL длины z равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки К на расстояние, не меньшее l (событие А).

      Решение. Представим линию связи в виде отрезка KL, длина которого равна z. Тогда = l, = z − l. 

      Обрыв равновозможен на любой единице  длины отрезка CL. Тогда по геометрическому определению искомая вероятность определится как отношение длин области, благоприятной наступлению события, к длине всей области, т.е. отрезка KL. 

2. Теорема сложения вероятностей 

      В любых сколь угодно сложных расчетах по теории вероятностей в той или иной форме используют две теоремы: теорему сложения и теорему умножения вероятностей.

      Теорема 1. Вероятность суммы конечного  числа попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

      Доказательство. Докажем теорему для двух событий, т.е. покажем, что если С=А+В и АВ=Ø , то 

      Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В), (1.3) 

      Для простоты рассуждений будем опираться  на классическое определение вероятности. Пусть множество элементарных исходов испытания или опыта Ω дискретно и состоит из n равновозможных исходов, т. е. = n; пусть событию А благоприятствуют m′ исходов, = m′; событию В – m′′ исходов, = m′′ . Так как А и В несовместны, то среди исходов, благоприятствующих наступлению этих событий, нет совпадающих. Поэтому событию С=А+В будет благоприятствовать m′ + m′′ исходов, = m′ + m′′. Тогда по классическому определению 

      Последнее выражение можно также представить  в виде 

       Таким образом, соотношение (1.3) доказано.

      Методом математической индукции можно показать справедливость теоремы для любого конечного числа попарно несовместных событий: 

      если  Ø,  

      Пример  4. Мишень состоит из концентрических окружностей. Вероятность попадания в первый, центральный круг – 0,05, во второй (средний) – 0,20 и наружное кольцо – 0,50. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?

      Решение. Искомое событие A произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий: A1={попадание в первый, центральный круг}, A2 ={попадание в среднее кольцо}, A3 = {попадание в наружное кольцо} , т. е. событие A представимо в виде суммы событий A1 ,A2 ,A3 , причем слагаемые события в этой сумме попарно несовместны и вероятности их наступления заданы. Тогда по теореме сложения получим 

      P(A) = P(A1 + A2 + A3) = P(A1)+ P(A2)+ P(A3) = 0,05+ 0,20+ 0,50 = 0,75. 

      Из  теоремы сложения следует практически  важное следствие или свойство вероятностей противоположных событий.

      Следствие. Вероятности двух взаимно противоположных  событий дополняют друг друга до единицы: , или вероятность события , противоположного событию A, равна 

       , (1.4)

       Действительно, так как A + = Ω и A = Ø, то по формуле (1.3) P(A + ) = P(A) + P( ) = P(Ω ) =1. Отсюда P( ) =1 − P(A).

      Теорема 2. (обобщенная теорема сложения). Если событие С представимо в виде суммы двух событий А и В, где A и В – любые события из одного поля, то 

      Р(С)=Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ), (1.5) 

3. Теорема умножения вероятностей 

      В основе определения вероятности  события лежит некоторый комплекс условий G, который остается неизменным при всех вариантах условий испытаний. Но, кроме этого, для того, чтобы установить характер соотношений между событиями А и В, приходится наблюдать происхождение или непроисхождение события А то без всяких дополнительных условий, то при условии, что уже произошло событие В. Если вероятность события А подсчитывается без каких-либо дополнительных условий или ограничений, то ее называют безусловной вероятностью данного события и записывают Р(А). Вероятность события А, найденная при условии, что произошло некоторое другое событие В, называется условной и обозначается Р(А/В) либо .

      Условные  вероятности обладают всеми свойствами безусловных вероятностей и находятся по тем же формулам.

      Теорема умножения вероятностей. Вероятность  произведения двух событий А и В равна произведению безусловной вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло: 

      Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В) (1.7) 

      Доказательство.

      Для простоты будем также опираться  на классическое определение вероятности. Пусть множество Ω конечно и состоит из n равновозможных, попарно несовместных исходов испытания или опыта, = n; событие А состоит из m исходов, = m; m ≤ n; событие В – из k исходов, = k, k ≤ n; событие АВ – из r исходов, = r, r ≤ n, r ≤ k, r ≤ m, т. е. событиям А, В и АВ будут благоприятствовать m, k и r равновозможных исходов соответственно. Найдем условную вероятность события А при условии, что событие В произошло: Р(А/В)=r/k.

      Поделим числитель и знаменатель этой дроби на n. 

      Отсюда  Р(АВ)=Р(В)Р(А/В).

      В наших рассуждениях мы могли поменять события А и В. Меняя ролями А и В, получим Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). Таким образом, равенство (1.7) доказано. Теорема умножения распространяется и на большее, чем два число сомножителей 

        (1.8) 

      Пример  5. На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?

      Решение. Используем для решения задачи формулу  умножения вероятностей (1.7) и непосредственный подсчет по классическому определению, т. е. решим ее двумя способами.

      1-й  способ: событие А = {первый взятый наугад заказ – внутри страны}, В = {второй, тоже взятый наугад заказ – внутри страны}. Нам необходимо найти вероятность Р(АВ), поэтому по формуле (1.7) 

      Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=(5/8)(4/7)=5/14.

       2-й способ: событие А ={два выбранных  наугад заказа – внутри страны}. По классическому определению  

       . 

4. Случайные события 

      4.1 Случайные события и величины, их основные характеристики 

      При анализе больших систем наполнителем каналов связи между элементами, подсистемами и системы в целом могут быть:

      продукция, т. е. реальные, физически ощутимые предметы с заранее заданным способом их количественного и качественного описания;

      деньги, с единственным способом описания - суммой;

      информация, в виде сообщений о событиях в  системе и значениях описывающих  ее поведение величин.

      Начнем с того, что обратим внимание на тесную (системную!) связь показателей продукции и денег с информацией об этих показателях. Если рассматривать некоторую физическую величину, скажем - количество проданных за день образцов продукции, то сведения об этой величине после продажи могут быть получены без проблем и достаточно точно или достоверно. Но, уже должно быть ясно, что при системном анализе нас куда больше интересует будущее - а сколько этой продукции будет продано за день? Этот вопрос совсем не праздный - наша цель управлять, а по образному выражению "управлять - значит предвидеть".

      Итак, без предварительной информации, знаний о количественных показателях  в системе нам не обойтись. Величины, которые могут принимать различные  значения в зависимости от внешних по отношению к ним условий, принято называть случайными (стохастичными по природе).

      Для случайных величин (далее - СВ) приходится использовать особые, статистические методы их описания. В зависимости  от типа самой СВ - дискретная или  непрерывная это делается по разному.

      Дискретное  описание заключается в том, что  указываются все возможные значения данной величины (например - 7 цветов обычного спектра) и для каждой из них указывается  вероятность или частота наблюдений именного этого значения при бесконечно большом числе всех наблюдений.

      Можно доказать (и это давно сделано), что при увеличении числа наблюдений в определенных условиях за значениями некоторой дискретной величины частота  повторений данного значения будет  все больше приближаться к некоторому фиксированному значению - которое и есть вероятность этого значения.

      К понятию вероятности значения дискретной СВ можно подойти и иным путем - через случайные события. Это  наиболее простое понятие в теории вероятностей и математической статистике - событие с вероятностью 0.5 или 50% в 50 случаях из 100 может произойти или не произойти, если же его вероятность более 0.5 - оно чаще происходит, чем не происходит. События с вероятностью 1 называют достоверными, а с вероятностью 0 - невозможными.

      Отсюда  простое правило: для случайного события X вероятности P(X) (событие происходит) и P(X) (событие не происходит), в сумме для простого события дают 1.

      Если  мы наблюдаем за сложным событием - например, выпадением чисел 1..6 на верхней  грани игральной кости, то можно считать, что такое событие имеет множество исходов и для каждого из них вероятность составляет 1/6 при симметрии кости.

      Если  же кость несимметрична, то вероятности  отдельных чисел будут разными, но сумма их равна 1.

      Стоит только рассматривать итог бросания кости как дискретную случайную величину и мы придем к понятию распределения вероятностей такой величины.

      Пусть в результате достаточно большого числа  наблюдений за игрой с помощью  одной и той же кости мы получили следующие данные:

      Таблица 1

      Подобную  таблицу наблюдений за СВ часто называют выборочным распределением, а соответствующую  ей картинку (диаграмму) - гистограммой.

      Рис. 1.  

      Какую же информацию несет такая табличка или соответствующая ей гистограмма?

      Прежде  всего, всю - так как иногда и таких  данных о значениях случайной  величины нет и их приходится либо добывать (эксперимент, моделирование), либо считать исходы такого сложного события равновероятными.

      С другой стороны - очень мало, особенно в цифровом, численном описании СВ. Как, например, ответить на вопрос: - а  сколько в среднем мы выигрываем за одно бросание кости, если выигрыш соответствует выпавшему числу на грани?

      Нетрудно  сосчитать:

      1·0.140+2·0.080+3·0.200+4·0.400+5·0.100+6·0.080= 3.48

      То, что мы вычислили, называется средним  значением случайной величины, если нас интересует прошлое.

      Если  же мы поставим вопрос иначе - оценить по этим данным наш будущий выигрыш, то ответ 3.48 принято называть математическим ожиданием случайной величины, которое в общем случае определяется как

                                  { 1}

      где P(Xi) - вероятность того, что X примет свое i-е очередное значение.

      Таким образом, математическое ожидание случайной  величины (как дискретной, так и  непрерывной) - это то, к чему стремится ее среднее значение при достаточно большом числе наблюдений.

      Обращаясь к нашему примеру, можно заметить, что кость несимметрична, в противном  случае вероятности составляли бы по 1/6 каждая, а среднее и математическое ожидание составило бы 3.5.

      Поэтому уместен следующий вопрос - а какова степень асимметрии кости - как ее оценить по итогам наблюдений?

      Для этой цели используется специальная  величина - мера рассеяния - так же как  мы "усредняли" допустимые значения СВ, можно усреднить ее отклонения от среднего. Но так как разности (Xi - Mx) всегда будут компенсировать друг друга, то приходится усреднять не отклонения от среднего, а квадраты этих отклонений. Величину

                         { 2}

      принято называть дисперсией случайной величины X.

      Вычисление  дисперсии намного упрощается, если воспользоваться выражением

                   { 3}

      т. е. вычислять дисперсию случайной  величины через усредненную разность квадратов ее значений и квадрат ее среднего значения.

      Выполним  такое вычисление для случайной  величины с распределением рис. 1.

      Таблица 2

      Таким образом, дисперсия составит 14.04 - (3.48)2 = 1.930.

      Заметим, что размерность дисперсии не совпадает с размерностью самой СВ и это не позволяет оценить величину разброса. Поэтому чаще всего вместо дисперсии используется квадратный корень из ее значения - т. н. среднеквадратичное отклонение или отклонение от среднего значения:

                             { 4}

      составляющее  в нашем случае . Много это или мало?

      Сообразим, что в случае наблюдения только одного из возможных значений (разброса нет) среднее было бы равно именно этому значению, а дисперсия составила бы 0. И наоборот - если бы все значения наблюдались одинаково часто (были бы равновероятными), то среднее значение составило бы (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3.500; усредненный квадрат отклонения - (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) / 6 =15.167; а дисперсия 15.167-12.25 = 2.917.

      Таким образом, наибольшее рассеяние значений СВ имеет место при ее равновероятном или равномерном распределении.

      Отметим, что значения Mx и SX являются размерными и их абсолютные значения мало что  говорят. Поэтому часто для грубой оценки "случайности" данной СВ используют т. н. коэффициент вариации или отношение  корня квадратного из дисперсии  к величине математического ожидания:

      Vx = SX/MX                             { 5}

      В нашем примере эта величина составит 1.389/3.48=0.399.

      Итак,  неслучайная, детерминированная величина имеет математическое ожидание равное ей самой, нулевую дисперсию и  нулевой коэффициент вариации, в то время как равномерно распределенная СВ имеет максимальную дисперсию и максимальный коэффициент вариации.

      В ряде ситуаций приходится иметь дело с непрерывно распределенными СВ - весами, расстояниями и т. п. Для  них идея оценки среднего значения (математического ожидания) и меры рассеяния (дисперсии) остается той же, что и для дискретных СВ. Приходится только вместо соответствующих сумм вычислять интегралы. Второе отличие - для непрерывной СВ вопрос о том какова вероятность принятия нею конкретного значения обычно не имеет смысла - как проверить, что вес товара составляет точно 242 кг - не больше и не меньше?

      Для всех СВ - дискретных и непрерывно распределенных, имеет очень большой смысл  вопрос о диапазоне значений. В  самом деле, иногда знание вероятности того события, что случайная величина не превзойдет заданный рубеж, является единственным способом использовать имеющуюся информацию для системного анализа и системного подхода к управлению. Правило определения вероятности попадания в диапазон очень просто - надо просуммировать вероятности отдельных дискретных значений диапазона или проинтегрировать кривую распределения на этом диапазоне.