Теория игр. 5
Модели теории игр
ПЛАН:
Введение…………………………………………………………
1.Теоретические основы теории игр………………………………………..5
2.Модели теории игр……………………………
3.Практическое применение
теории игр. Модель олигополии
в контексте теории игр.
Заключение……………………………………………………
Список литературы.............
Введение
Теория игр, раздел математики,
изучающий формальные модели принятия
оптимальных решений в условиях
конфликта. При этом под конфликтом
понимается явление, в котором участвуют
различные стороны, наделённые различными
интересами и возможностями выбирать
доступные для них действия в
соответствии с этими интересами.
Систематическая же математическая
теория игр была детально разработана
американскими учёными Дж. Нейманом
и О. Моргенштерном (1944) как средство
математического подхода к
Теория игр - математические
расчеты гипотетического
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.
Таким образом, модели теории
игр позволяют не только проанализировать
поведение участников рынка в
той или иной ситуации, но и выявить
возникающие в процессе их взаимодействия
проблемы - координации, совместимости
и кооперации. Поскольку в реальной
практике фирмы находятся в постоянном
взаимодействии (повторяющиеся игры),
то принимаемые ими решения
Актуальность данной работы обусловлена тем, что теория игр позволяет менеджерам принимать оптимальные стратегические решения в условиях неопределенности, связанной с поведением игроков на конкурентном рынке. Руководители компаний должны помнить: если они вовремя не совершат нужный шаг, это сделают их соперники.
Целю моей работы является - изучить, модели теории игр для двух игроков, практическое применение теории игр, модель олигополии в контексте теории игр. Равновесие Нэша.
Основными задачами данной работы является - рассмотреть теоретические основное теории игр, модели теории игр, также модели олигополии в контексте теории игр.
1.Теоретические основы теории игр
Основные понятия теории игр
Игра - упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении все других сторон.
Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры.
Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не всякий выигрыш в действительности можно оценить количественно.
Игрок - одна из сторон в игровой ситуации. Стратегия игрока - его правила действия в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта - выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулём, выигрыш - единицей, а ничью - ?.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух.
Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а - выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход - это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.
Для того чтобы решить игру,
или найти решение игры, следует
для каждого игрока выбрать стратегию,
которая удовлетворяет условию
оптимальности, т.е. один из игроков
должен получать максимальный выигрыш,
когда второй придерживается своей
стратегии. В то же время второй игрок
должен иметь минимальный проигрыш,
если первый придерживается своей стратегии.
Такие стратегии называются оптимальными.
Оптимальные стратегии должны также
удовлетворять условию
Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.
Целью теории игр является
определение оптимальной
Классификация игр
Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков - тем больше проблем.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на:
бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) могут вступать в коалиции.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.
Матричная игра это конечная
игра двух игроков с нулевой суммой,
в которой задаётся выигрыш игрока
1 в виде матрицы (строка матрицы
соответствует номеру применяемой
стратегии игрока 2, столбец номеру
применяемой стратегии игрока 2;
на пересечении строки и столбца
матрицы находится выигрыш
Биматричная игра это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.
*Матричные игры
Решение матричных игр в чистых стратегиях.
Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.
Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.
Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=), 2 – свою j-ю стратегию (j=), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij< 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij | ). На этом игра заканчивается.
Каждая стратегия игрока i=; j = часто называется чистой стратегией. Если рассмотреть матрицу А = то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 i-й строки, а игроком 2 j-го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша аij.
Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i =) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2
аij (i=) т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = iо, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным,т.е. находится аij = (1).
Определение. Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.
Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается аij т.е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою j = j1 стратегию, при которой игрок 1 получит min выигрыш, т.е. находит aij = (2).
Определение. Число, определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.
Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше, а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .
Определение. Если в игре с матрицей А =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры u =2
Седловая точка – это пара чистых стратегий (iо,jо) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе: где i, j – любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (iо,jо) – стратегии, образующие седловую точку.
Таким образом, исходя из (3), седловой элемент является минимальным в iо-й строке и максимальным в jо-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (iо,jо) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом iо и jо называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.
Пример 1
Седловой точкой является пара (iо = 3; jо = 1), при которой u = 2. Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 ==, она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.
Пример 2
Из анализа матрицы выигрышей видно, что , т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д.
2.Модели теории игр
Когда между фирмами существует взаимодействие и поведение каждой из них обусловлено многими институциональными условиями - неполнотой информации, неопределенностью, наличием трансакционных издержек, множественностью целей, действием конкурентов и т.д., - опирающиеся на стабильность предпочтений и абсолютную рациональность участников рынка, полноту информации и существование единственного Парето-оптимального равновесия модели неоклассической теории становятся малопригодными для экономического анализа. Более предпочтительной для анализа взаимодействия участников рынка и обусловливающих такое взаимодействие условий является институциональная экономическая теория. Она исходит из того, что предпочтения не являются заданными и стабильными, а формируются под влиянием многих изменяющихся условий (институтов). Учитывая наличие информационных издержек и ограниченность знания, в качестве определяющего выбор принципа теория использует не оптимальность, а удовлетворенность. Наконец, она постулирует необязательность Парето оптимального равновесия и допускает как множественность точек равновесия, так и отсутствие равновесия вообще. В институциональной теории используются разные методы анализа, в том числе и формальные модели, применяемые для исследования взаимодействия фирм. В основе построения таких моделей лежит теория игр.
Теория игр представляет собой способ анализа взаимообусловленного поведения, когда решения одного участника оказывают влияние на решения другого, и наоборот. Она не требует полной рациональности в поведении и не предполагает наличия единственного равновесия. Поскольку речь идет о взаимообусловленном поведении, то вся игра строится на принципе оценки результатов стратегий участников игры. Для этого создается матрица выигрышей, представляющая собой варианты и оценки результатов решений участников взаимодействия, а сама игра может быть представлена в стратегической или развернутой форме Кроме того, игры могут быть не кооперативными, когда не допускается обмен информацией между участниками, и кооперативными, когда такой обмен возможен.
Обе формы иллюстрируют возможные решения и оценку результатов этих решений. Если фирма А снизит цену на свою продукцию, то она увеличит свою прибыль, увеличив объем продаж, только в том случае, если фирма Б не снизит цену на свою продукцию (15; -10). Если же фирма Б последует примеру фирмы А и снизит цену, то это приведет к снижению прибыли у обеих фирм (-5; -5). Напротив, в случае снижения цены фирмой Б и сохранения ее фирмой А прибыли последней сократятся, а у фирмы Б - вырастут (-10; 15). Только в случае сохранения существующей цены у фирм не происходит изменения прибылей (0; 0). Суть игры заключается в том, чтобы в условиях неопределенности поведения конкурента выработать равновесную, то есть наиболее приемлемую с точки зрения последствий, стратегию взаимодействия.
В рамках взаимодействия фирм могут быть достигнуты различные типы равновесия. Когда действия фирмы А обеспечивают максимальный результат вне зависимости от характера реагирования фирмы Б, говорят о равновесии доминирующей стратегии. Оно достигается в случае пересечения доминирующих стратегий обеих фирм. Ситуация, при которой стратегия фирмы А обеспечивает максимальный результат в зависимости от действия фирмы Б, называется равновесием по Нэшу, которое означает, что ни одна из фирм не сможет увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке. Если же равновесие достигается при условии, что улучшение положения одной из фирм невозможно без ухудшения положения другой, то в этом случае имеет место равновесие по Парето. В случае, когда максимизация результатов участников игры достигается в результате принятия решения одной фирмой на основе известного ей решения другой фирмы, возникает равновесие по Штакельбергу, которое имеет место всегда.
В приведенной игре равновесие доминирующих стратегий отсутствует, так как нет стратегий, дающих максимальный выигрыш независимо от действий конкурента. Равновесие по Нэшу будет достигнуто в точке (0; 0), так как при данной стратегии ни один из участников не заинтересован ее менять. Равновесие по Парето достигается в точках (0; 0) и (-3; -3), поскольку в этих ситуациях нельзя улучшить положение одного участника без ухудшения положения другого. Что касается равновесия по Штакельбергу, то оно будет находиться для фирмы А в точке (5; -10), а для фирмы Б - в точке (-10; 5).
Модели теории игр позволяют
не только проанализировать поведение
участников рынка в той или
иной ситуации, но и выявить возникающие
в процессе их взаимодействия проблемы
- координации, совместимости и кооперации.
Поскольку в реальной практике фирмы
находятся в постоянном взаимодействии
(повторяющиеся игры), то принимаемые
ими решения основываются на предыдущем
опыте, а сами они приходят к выводу
о том, что в долгосрочном периоде
кооперативное поведение
Модели теории игр предполагают
ограниченную рациональность или нерациональность
игроков. Теория игр занимается не только
и не столько вопросами
3.Практическое применение теории игр.
Модель олигополии в контексте теории игр. Равновесие Нэша.
Теория игр была разработана Дж. фон Нейманном и О. Моргенштерном в 1944 г., ее дальнейшую разработку продолжил Дж. Нэш. Теория игр имеет большое значение в экономическом анализе.
Эта теория рассматривает
поведение фирм на рынке как игру,
причем имеются определенные правила
игры, по результатам которой
В модели олигополии фирма
осуществляет оптимальную политику,
ориентируясь на действия своих конкурентов,
и предполагает, что конкуренты в
отрасли будут поступать
Например, рассмотрим стратегию фирм А и В с понижением цены. Если обе фирмы не понижают цену, прибыль каждой составит, например, 60 млн. условных. единиц. Если одна из фирм понижает цену, она получает конкурентное преимущество и увеличивает прибыль до 85 млн. условных. ед. В это время конкурент терпит убыток в размере 25 млн. условных. ед. Если же обе фирмы в сговоре проводят политику снижения цены, прибыль каждого составит по 12,5 млн. условных. ед.
Необходимо определить, как поступить фирмам А и В, чтобы не проиграть.
Аналогом данной ситуации на рынке служит другая игра - так на-зываемая «дилемма заключенного». Суть этой игры в следующем: два узника содержатся в отдельных камерах и обвиняются по одному делу.
У обвинения достаточно улик, чтобы осудить узников только на два года. Узникам сообщили (каждому отдельно), что если один сознается, а другой нет, то сознавшийся будет свободен, а не сознавшийся получит 20 лет. Если сознаются оба, то каждый получит по 10 лет. Необходимо определить, каким будет поведение заключенного, когда реакция другого неизвестна.
Различают две стратегии поведения, называемые maximin и maximax: 1. maximin - это стратегия пессимиста.
2. maximax - это стратегия оптимиста.
Пессимист будет искать наилучший вариант из наихудших результатов. Это ситуация, когда, например, узник А ждет, что узник В признается, и тогда А получит 20 лет заключения, при условии, что он не сознается. Чтобы обеспечить себе наименее плохой результат из всех плохих вариантов, узник А решает сознаться, поскольку это позволит ему получить 10 лет заключения, а не 20. Этот результат лучше, чем 20 лет заключения, если узник А не будет сознаваться.
Аналогично будет рассуждать и узник В. В результате, не сговариваясь, оба узника придут к решению сознаться и получат по 10 лет тюрьмы.
Оптимист надеется на самый лучший вариант решения вопроса. Узник А думает, что узник В не сознается, поэтому он решает соз-наться. Но узник В также оптимист и поступает аналогичным обра-зом. В результате, не сговариваясь, оба заключенных придут к реше-нию сознаться и получат по 10 лет тюрьмы.
Стратегии maximin и maximax привели узников к одному результату - это и есть решение Нэша.
Подобного рода решение примут и фирмы А и В на конкурентном рынке. В обоих случаях фирмы А и В решают снижать цены, и стратеги maximin и maximax приведут их к решению Нэша, т. е. понижать цены, что даст им равные прибыли - по 12,5 млн. условных. единиц, каждой фирме.
Равновесие Нэша - это такое состояние фирм, при котором стратегия каждого игрока (фирмы) является ответом на действия других игроков (фирм) не худшим из доступных ему стратегий.
Модель тайного соглашения в ценах (картель)
Картель - это форма «координированной» олигополии.
В экономической литературе картель определяют как олигополистическую модель, но некоторые экономисты относят картель к одной из форм монополии, поскольку в результате сговора несколько фирм действуют на рынке как одна.
Картель представляет собой форму сговора нескольких фирм, которые действуют как одна большая монополия, согласуя выпуск продукции и цен.
Данный сговор существует
для того, чтобы противостоять
соперничеству между фирмами
и максимизировать прибыль
Для создания картелей необходимы следующие условия:
* существование барьеров для входа в отрасль;
* ограничение количества фирм, входящих в картель;
* открытость процессов
производства и схожесть
* стабильное состояние рынка;
* согласование между членами картеля по размеру общего выпуска продукции;
* установление размера квоты каждому члену картеля.
Примером картелей могут быть разнообразные лицензионные соглашения, консорциумы по осуществлению научных разработок и т. п. Во многих странах (США, Франция, Германия и др.) запрещена деятельность картелей, которая связана с делением рынка, установлением фиксированных цен, ограничением объема выпускаемой продукции.
Модель тайного соглашения в ценах повторяет модель чистой монополи. Все олигополистические фирмы договариваются о разделе рынка, картельной цене Рк и соответствующей квоте. Прибыль максимизируется при МС = МR и объеме Qк. Фирмы работают на эластичном участке спроса (DkL)> получая общую экономическую прибыль (МРКLI), и распределяют ее в зависимости от размера квоты каждой фирмы.
Когда картельные фирмы получают достаточно высокую прибыль, они позволяют более мелким фирмам входить на данный рынок. О-резок LDК они отдают мелким фирмам, но вступление в картель остается заблокированным. Иногда фирмы, входящие в картель, нарушают сговор. Они начинают снижать цены или увеличивать объем своей продукции в количестве большем, чем предусмотрено картельной квотой, тем самым, забирая часть рынка у других членов картеля. Следует сказать, что картелями предусмотрены штрафы для нарушителей картельных соглашений.
Картель представляет собой пример кооперативной игры. В этой игре п участников, причем обязательное условие картельного соглашения заключается в том, что каждый участник «игры» получит то, на что он рассчитывает в случае объединения против него всех других олигополистов.
Модель олигополии Курно
Модель Курно предполагает, что на рынке функционирует всего две фирмы (дуополия). Каждая фирма предполагает, что цена и объем производства конкурента неизменны, а затем принимает свое решение по объему производства.
Например, производитель - дуополист I начинает производство первым. Сначала он является монополистом, производя Q1 продукции.
Данный объем продукции при цене Р позволяет ему максимизировать прибыль, поскольку MR = МС = 0. В данном случае, при данном объеме производства, эластичность рыночного спроса равна единице. Общая выручка (ТR) достигает максимума.
Затем производство начинает вести дуополист II, в его понимании объем выпуска сдвинется вправо на расстояние 0Q1. Он воспринимает участок AD рыночного спроса (DD1) как кривую остаточного спроса, причем ей соответствует кривая предельного дохода (MR2) дуополиста II. Объем производства дуополиста II будет равен половине не-удовлетворенного спроса дуополиста I, т. е. Q1 Q2 что дает ему возможность максимизировать прибыль. Выпуск составит 1 /4 часть всего рыночного объема.
Следующие действия дуополиста I основаны на том, что он предполагает, что выпуск дуополиста II останется неизменным и т. д.
Правило дуополии Курно следующее: если продавец I снизит свой выпуск на единицу, то продавец II увеличит свой выпуск на половину единицы (и наоборот).
Равновесие в модели Курно можно показать через кривые реакции, которые отражают максимизирующие прибыль объемы выпуска одной фирмы по отношению к другой (если даны объемы выпуска конкурента) Каждая фирма при равновесии устанавливает такой объем производства, который соответствует своей собственной кривой реакции. Поэтому
равновесный уровень объема производства находится на пересечении двух кривых реакции (равновесие Курно).
При равновесии Курно каждый дуополист стремится и устанавливает объем производства, который максимизирует его прибыль, при определенном объеме своего конкурента. Поэтому у дуополистов нет стимула к изменению своего объема производства.
