Теория систем массового обслуживания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат

по дисциплине "Теория систем массового обслуживания"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015

 

Содержание

 

1.Теория систем массового обслуживания………………………..………… 3

2. Потоки события……………………………….………………………......... 3

3. Графы состояний СМО……….……………………………………………. 6

4. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний…….…………………………………………………………. 8 

5. Уравнения Колмогорова…………………………………………...……… 11

6. Список используемых источников……………………………………......…14

 

 

Теория систем массового обслуживания.

 

ТСМО – это область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные действия повторяются многократно (например, на предприятиях бытового обслуживания, автоматических линиях производства и др.).

ТМО опирается на теорию вероятностей и математическую статистику.

Первоначальное развитие ТМО связано с именем датского ученого А.К. Эрланга (1878 – 1929 г.г.), с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские ученые математики Колмогоров, Хинчин и др.

Предметом ТМО – является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

Задачи ТМО носят оптимизационных характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В связи с этим необходимо научиться грамотно, формулировать экономико-математическую постановку задач массового обслуживания и просчитывать возможные исходы для принятия конструктивных решений, направленных на улучшение качества обслуживания.

 

Потоки событий

 

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием определенных событий - поступления заявок на их обслуживание. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, формирует поток событий. Поведение системы обычно определяется не одним, а сразу несколькими потоками событий. Например: обслуживание покупателей в магазине определяется потоком покупателей и потоком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя. При этом характерной основной чертой потоков является вероятностное распределение времени между соседними событиями.

Выделяют следующие виды потоков:

1. Регулярный поток событий –  события в нем следуют одно  за другим через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. (Например, поток изменения минутной цифры на табло электронных часов).

2. Стационарный поток событий –  если все его временные характеристики не меняются со временем. Для стационарного потока событий вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной τ, зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно на оси времени 0t этот участок расположен.

Интенсивность такого потока есть величина постоянная. На практике потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей в магазине существенно меняется в течении рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный (имеющий постоянную интенсивность).

3. Поток без последствия – если  число событий попадающих на  один из произвольно выбранных  промежутков времени не зависит  от числа событий попавших на другой промежуток времени (при условии что эти промежутки не пересекаются между собой).

В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток звонков на станцию скорой помощи является простейшим без последствия, т.к. звонящие действуют независимо друг от друга.

4. Ординарный поток событий вероятность  попадания 2-х и более событий на очень малый промежуток времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. В ординарном потоке события происходят по одному, а не по 2 и более сразу. Примерами ординарных потоков могут служить поток деталей, поступающих на конвейер для сборки, поток отказов технического устройства, поток автомобилей прибывающих на станцию техобслуживания.

Если поток одновременно обладает свойствами ординарности, стационарности и отсутствием последствий, то такой поток называю простейшим или потоком Пуассона.

Простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль. Рассмотрим на оси времени, некоторый промежуток времени t, допустим, вероятность попадания случайного события на этот промежуток = Р, а полное число возможных событий – n. При наличии свойств ординарности потока, вероятность Р – должна быть достаточно малой величиной, а n – достаточно большим числом. В этих условиях для вычисления вероятности попадания на промежуток времени t, некоторого числа событий m, можно воспользоваться формулой Пуассона.

a m e m a P

где - а – это среднее число событий попадающих на данный промежуток времени.

Справочно: е = 2,71828….

а – можно определить через интенсивность потока событий λ

а = λ t

Размерность интенсивности потока λ – есть среднее число событий в единицу времени. Для простейшего потока математическое ожидание интервала времени между соседними событиями равно его среднеквадратическому отклонению. В этом случае, вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за промежуток времени t, равно к, определяется по закону Пуассона:

t k t k e kt P * ) ( ) (

Интенсивность потока заявок λ выражается следующим образом:

чел/мин; руб/час; чеков/час; документов/день; кг/ час и т.д.

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально.

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания тоже можно считать распределенным экспоненциально:

f (tоч.) = v * e-vt

v –  это интенсивность прохода очереди, определяемая средним числом заявок, проходящих на обслуживание в единицу времени:

оч 1 T V

Точ – это среднее время ожидания обслуживания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания tобсл. является тоже случайной величиной и подчиняется во многих случаях показательному закону распределения:

f (tобсл.) = μ * e-μt

μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок обслуживаемых в единицу времени.

обсл. t 1

tобсл. – среднее время обслуживания заявок.

Важнейшей характеристикой СМО, объединяющей показатели μ и λ, является интенсивность нагрузки ρ:

ρ = λ / μ;

которая показывает, степень согласования входного и выходного потоков заявок и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Кроме понятия простейшего потока заявок часто приходиться пользоваться понятиями потоков других типов.

Поток событий называется потоком Пальма, когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями являются независимыми, одинаково распределенными случайными, но в отличие от простейшего потока не обязательно распределенными по показательному закону.

Важным частным случаем потока Пальма является поток Эрланга. Этот поток получается прореживанием простейшего потока. Такое прореживание производиться путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока. Например, условившись учитывать только каждое второе событие из образующих простейший поток, мы получаем поток Эрланга второго порядка, если брать только каждое 3-е событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д.

 

Графы состояний СМО

 

При анализе случайных процессов удобно пользоваться вариантом схематического изображения возможных состояний СМО на рисунке в виде графа с разметкой его возможных состояний.

Состояние системы обычно изображается либо прямоугольниками, либо кружками, а возможные направления переходов из одного состояния в другое ориентированы стрелками, соединяющими эти состояния.

Например, размеченный граф состояний одноканальной системы случайного процесса обслуживания в газетном киоске будет следующим:

λ12

λ01

S 1

S 2

S 0

λ21

λ10

Система может находиться в одном из трех состояний:

S 0 – канал свободен (простаивает)

S 1 – канал занят обслуживанием;

S 2 – канал занят обслуживанием  и одна заявка в очереди.

Переход системы из состояния S 0 в состояние S 1, происходит под воздействием простейшего потока с интенсивностью λ01, а из состояния S 1 в S 0 систему переводит поток обслуживания с интенсивностью λ10.

Граф состояний системы обслуживания с проставленными интенсивностями потоков у стрелок называется размеченным. Переход по стрелке, ведущей из состояния в негоже, означает задержку системы в данном состоянии.

Поскольку пребывание системы в том или ином состоянии носит вероятностный характер, то вероятность рi(t) того, что система будет находиться в состоянии Si в момент времени t, называется вероятностью I – того состояния СМО и определяется числом поступающих заявок на обслуживание (к).

Случайный процесс, происходящий в системе, заключается в том, что случайные моменты времени t0 ,t1 , t2 ………..tn система оказывается в том, или ином заранее известном состоянии последовательно. Такая случайная последовательность событий носит название Марковской цепи. Если для каждого шага вероятность перехода из одного состояния Si в любое другое Sj, не зависит от того, когда и как система перешла в состояние Si.

Марковские случайные процессы (цепи Маркова).

Марковская цепь описывается с помощью вероятности состояний, причем они образуют полную группу событий, поэтому их сумма равна 1. Зная начальное состояние системы обслуживания, можно найти вероятности состояний для любого количества заявок поступающих на обслуживание.

Марковская цепь представляет собой разновидность Марковского процесса, в котором будущее зависит от прошлого только через настоящее.

Основной задачей исследования Марковской цепи является вычисление безусловных вероятностей нахождения системы S на любом (к-отм) шаге в состоянии Si .

Переходные вероятности pij(k) можно записать в виде матрицы.

По главной диагонали матрицы стоят вероятности задержки в данном состоянии:

p11(k) ; p 22(k) ; pij (k) ; pij (k) ; pnn (k)

Т.к. на каждом шаге система S может находиться только в одном из взаимоисключающих состояний, то для любой I – той строки матрицы сумма всех стоящих в ней вероятностей pij (k) = 1.

Матрица, обладающая таким свойством называется стохастической. Все элементы стохастической матрицы отвечают условию:

0 ≤ pij ≤ 1;

Вероятность задержки в такой матрице можно получить как дополнение до единицы всех остальных членов строки:

pii (k) = 1 - ) ( 1 k p n j ij

При нахождении вероятностей состояний Марковской цепи на к-том шаге pi(k) удобно пользоваться размеченным графом состояний, где возле каждой стрелки ведущей из состояния Si в состояние Sj проставлена переходная вероятность pij. Вероятности задержки на размеченном графе не проставляются, а просто получаются дополнением до единицы суммы вероятностей, стоящих у всех Стрелов ведущих из состояния Si.

Если состояние Si является поглощающим, то вероятность задержки в этом состоянии = 1.

Для того, что бы найти безусловную вероятность нахождения системы S на к – том шаге в состоянии Sj (j = 1,2,…..), если задана матрица переходных вероятностей (или что равнозначно, размеченный граф состояний) и начальное распределение вероятностей, выдвигают гипотезу, состоящую в том, что в начальный момент (к = 0) система находилась в состоянии Si.

В предположении того, что эта гипотеза имеет место, условная вероятность того, что система S на первом шаге будет в состоянии Sj, равна переходной вероятности pij.

По формуле полной вероятности получим:

pi (1) = .n). 1,2,3.....(j ), 0(* 1 i n i ij p p

Т/о мы нашли распределение вероятностей системы S на первом шаге. Теперь у нас есть все необходимое для того, что бы найти распределение вероятностей на втором шаге (которое для цепи Маркова зависит от распределения вероятностей на первом шаге).

Распределение вероятностей на втором шаге, мы выразим через распределение вероятностей на первом шаге:

pi (2) = ), 1(* 1 i n i ij p p

Переходя таким же способом от к = 2 к к = 3 и т.д., получим рекуррентную формулу.

Рекуррентной называется формула, выражающая каждый член последовательности через предыдущие члены этой последовательности.

 

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные

вероятности состояний.

 

Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.

Итак, на систему, находящуюся в состоянии  , действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из состояния  в состояние  (на графе состояний по стрелке  ).

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге (стрелке).   - интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния   в  . Такой граф называется размеченным. Для нашего примера размеченный граф приведен на рис. 3.

Рис. 3. Размеченный граф состояний системы

На этом рисунке   - интенсивности потока отказов;   - интенсивности потока восстановлений.

Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т.е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.

Пусть система находится в состоянии S 0 . В состояние S 1 ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна:

где   - среднее время безотказной работы первого станка.

Из состояния S 1 в S 0 систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна:

где   - среднее время ремонта первого станка.

Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем дугам графа. Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, строится математическая модель данного процесса.

Пусть рассматриваемая система S имеет  -возможных состояний  . Вероятность  -го состояния   - это вероятность того, что в момент времени  , система будет находиться в состоянии  . Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:

Для нахождения всех вероятностей состояний   как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова – особого вида уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления этих уравнений приведем здесь без доказательств. Но прежде, чем его приводить, объясним понятие финальной вероятности состояния .

Что будет происходить с вероятностями состояний при  ? Будут ли   стремиться к каким-либо пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний .

где   - конечное число состояний системы.

Финальные вероятности состояний – это уже не переменные величины (функции времени), а постоянные числа. Очевидно, что:

Финальная вероятность состояния   – это по–существу среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

Например, система S имеет три состояния S 1 , S 2 и S 3 . Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S 1 , 3/10 – в состоянии S 2 и 5/10 – в состоянии S 3 .

Правило составления системы уравнений Колмогорова : в каждом уравнении системы в левой его частистоит финальная вероятность данного состояния  , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков,ведущих из данного состояния , а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков,входящих в  -е состояние , на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений для нашего примера :

.

Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными  , казалось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием:   и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Продолжение примера . Пусть значения интенсивностей потоков равны:  .

Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие:

.

.

Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S 0(оба станка исправны), 20% - в состоянии S 1 (первый станок ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянииS 2 (второй станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S 3 (оба станка ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.

Пусть система S в состоянии S 0 (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S 1 – доход 3 условные единицы, в состоянии S 2 – доход 5 условных единиц, в состоянии S3 – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен:   условных единиц.

Станок 1 ремонтируется долю времени, равную:  . Станок 2 ремонтируется долю времени, равную:  . Возникает задача оптимизации . Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.

 

Уравнения Колмогорова

 

Рассмотрим математическое описание марковского случайного процесса с дискретными состояниями системы So , Sl , S2 (см. рис. 6.2.1) и непрерывным временем. Полагаем, что все переходы системы массового обслуживания из состояния Si в состояние Sjпроисходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями λij , а обратный переход под воздействием другого потока λij ,. Введем обозначение pi как вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии Si . Для любого момента времени tсправедливо записать нормировочное условие—сумма вероятностей всех состояний равна 1:

2

Σpi (t)=p0 (t)+ p1 (t)+ p2 (t)=1

i =0

Проведем анализ системы в момент времени t, задав малое приращение времени Δt, и найдем вероятность р1(t+ Δt) того, что система в момент времени (t+ Δt) будет находиться в состоянии S1 которое достигается разными вариантами:

а) система в момент t с вероятностью p1 (t) находилась в состоянии S1 и за малое приращение времени Δt так и не перешла в другое соседнее состояние — ни в S0 , ни bS2 . Вывести систему из состояния S1 можно суммарным простейшим потоком c интенсивностью (λ10 +λ12 ), поскольку суперпозиция простейших потоков также является простейшим потоком. На этом основании вероятность выхода из состояния S1 за малый промежуток времени Δtприближенно равна (λ10 +λ12 )* Δt. Тогда вероятность невыхода из этого состояния равна [1 -(λ10 +λ12 )* Δt].Bсоответствии с этим вероятность того, что система останется в состоянии Siна основании теоремы умножения вероятностей, равна:

p1 (t) [1 -(λ10 +λ12 )* Δt];

б)система находилась в соседнем состоянии So и за малое время Δt перешла в состояние So Переход системы происходит под воздействием потока λ01 с вероятностью, приближенно равной λ01 Δt

Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S1 , в этом варианте равна po (t)λ01 Δt;

в) система находилась в состоянии S2 и за время Δt перешла в состояние S1 под воздействием потока интенсивностью λ21 с вероятностью, приближенно равной λ21 Δt. Вероятность того, что система будет находиться в состоянии S1 , равна p2 (t) λ21 Δt.

Применяя теорему сложения вероятностей для этих вариантов, получим выражение:

p2 (t+Δt)= p1 (t) [1 -(λ10 +λ12 )* Δt]+ po (t)λ01 Δt+p2 (t) λ21 Δt ,

которое можно записать иначе:

p2 (t+Δt)-p1 (t)/ Δt= po (t)λ01 + p2 (t) λ21 - p1 (t) (λ10 +λ12 ) .

Переходя к пределу при Δt-> 0, приближенные равенства перейдут в точные, и тогда получим производную первого порядка

dp2 /dt= p0 λ01 +p2 λ21 -p1 (λ10 +λ12 ) ,

что является дифференциальным уравнением.

Проводя рассуждения аналогичным образом для всех других состояний системы, получим систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями А.Н. Колмогорова:

dp0 /dt= p1 λ10 ,

dp1 /dt= p0 λ01 +p2 λ21 -p1 (λ10 +λ12 ) ,

dp2 /dt= p1 λ12 +p2 λ21 .

Для составления уравнений Колмогорова существуют общие правила.

Уравнения Колмогорова позволяют вычислить все вероятности состояний СМО Si в функции времени pi (t). В теории случайных процессов показано, что если число состояний системы конечно, а из каждого из них можно перейти в любое другое состояние, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые показывают на среднюю относительную величину времени пребывания системы, в этом состоянии. Если предельная вероятность состояния S0 – равна p0 = 0,2, то, следовательно, в среднем 20% времени, или 1/5 рабочего времени, система находится в состоянии So . Например, при отсутствии заявок на обслуживание к = 0, р0= 0,2,; следовательно, в среднем 2 ч в день система находится в состоянии So и простаивает, если продолжительность рабочего дня составляет 10 ч.

Поскольку предельные вероятности системы постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова соответствующие производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО. Такую систему уравнений составляют по размеченному графу состояний СМО по следующим правилам: слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность рiрассматриваемого состояния Siумноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих (выходящие стрелки) изданного состояния Si систему, а справа от знака равенства — сумма произведений интенсивности всех потоков, входящих (входящие стрелки) в состояние Siсистему, на вероятность тех состояний, из которых эти потоки исходят. Для решения подобной системы необходимо добавить еще одно уравнение, определяющее нормировочное условие, поскольку сумма вероятностей всех состояний СМО равна 1:n

Σpi (t)=1

i =1

Например, для СМО, имеющей размеченный граф из трех состояний So , S1 , S2 рис. 6.2.1, система уравнений Колмогорова, составленная на основе изложенного правила, имеет следующий вид:

Для состояния So → p0 λ01 = p1 λ10

Для состояния S1 →p1 (λ10 +λ12 ) = p0 λ01 +p2 λ21

Для состояния S2 → p2 λ21 = p1 λ12

p0 +p1 +p2 =1

dp4 (t)/dt=λ34 p3 (t) - λ43 p4 (t) ,

p1 (t)+ p2 (t)+ p3 (t)+ p4 (t)=1 .

К этим уравнениям надо добавить еще начальные условия. Например, если при t = 0 система S находится в состоянии S1, то начальные условия можно записать так:

p1 (0)=1, p2 (0)= p3 (0)= p4 (0)=0 .

Переходы между состояниями СМО происходит под воздействием поступления заявок и их обслуживания. Вероятность перехода в случае, если поток событий простейший, определяется вероятностью появления события в течение времени Δt, т.е. величиной элемента вероятности перехода λij Δt, где λij — интенсивность потока событий, переводящих систему из состояния i в состояние i (по соответствующей стрелке на графе состояний).

Если все потоки событий, переводящие систему из одного состояния в другое, простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет марковским случайным процессом, т.е. процессом без последствия. В этом случае поведение системы достаточно просто, определяется, если известны интенсивность всех этих простейших потоков событий. Например, если в системе протекает марковский случайный процесс с непрерывным временем, то, записав систему уравнений Колмогорова для вероятностей состояний и проинтегрировав эту систему при заданных начальных условиях, получим все вероятности состояний как функции времени:

pi (t), p2 (t),…., pn (t) .

Во многих случаях на практике оказывается, что вероятности состояний как функции времени ведут себя таким образом, что существует

lim pi (t) = pi (i=1,2,…,n) ; t→∞

независимо от вида начальных условий. В этом случае говорят, что существуют предельные вероятности состояний системы при t->∞ и в системе устанавливается некоторый предельный стационарный режим. При этом система случайным образом меняет свои, состояния, но каждое из этих состояний осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, определяемой средним временем пребывания системы в каждом из состояний.

Вычислить предельные вероятности состояния рi можно, если в системе положить все производные равными 0, поскольку в уравнениях Колмогорова при t-> ∞ зависимость от времени пропадает. Тогда система дифференциальных уравнений превращается в систему Обычных линейных алгебраических уравнений, которая совместно с нормировочным условием позволяет вычислить все предельные вероятности состояний.

 

Список используемых источников

 

1. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. М: Финансы и статистика, 2001.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М: Высшая школа, 2001.
3. Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем. М: Высшая школа, 1985.
4. Лифшиц А.Л. Статистическое моделирование СМО. М., 1978.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций. М: Наука, 1980.
6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. М: Наука, 1988.