Теория устойчивости. Фазовые портреты

1. Постановка задачи.

Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния  возмущающих факторов на движение материальной системы. Под возмущающими факторами  понимаются силы, не учитываемые при  описании движения вследствие их малости  по сравнению c основными силами. Эти возмущающие силы обычно неизвестны. Они могут действовать мгновенно, что сведется к малому изменению начального состояния материальной системы, т. е. начальных значений координат и скоростей. Но эти факторы могут действовать и непрерывно, что будет означать, что составленные дифференциальные уравнения движения отличаются от истинных, что в них не учтены некоторые малые поправочные члены.

Хорошо известно, что влияние  малых возмущающих факторов на движение материальной системы будет неодинаковым для различных движений. На одни движения это влияние незначительно, так что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного. Напротив, на других движениях влияние возмущений сказывается весьма значительно, так  что возмущенное движение значительно  отличается от невозмущенного, как бы малы ни были возмущающие силы. Движения первого рода называются устойчивыми, движения второго рода — неустойчивыми.

Теория устойчивости движения и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое  движение устойчивым или неустойчивым. Так как в действительности возмущающие  факторы всегда неизбежно существуют, то становится понятным, что задача устойчивости движения приобретает  очень важное теоретическое и  практическое значение.

Задачей устойчивости движения занимались многие виднейшие математики и механики. Основная теорема об устойчивости равновесия установлена  еще Лагранжем. Она служила исходным пунктом для исследований Рауса, который установил признаки устойчивости движения для некоторых частных случаев движений. Задачей устойчивости занимались также Томсон и Тэт и Н. Е. Жуковский. Все эти авторы рассматривали весьма частные случаи движений и для решения задачи применяли нестрогие методы. Первое строгое решение задачи принадлежит Пуанкаре. Однако результаты Пуанкаре также носят весьма частный характер.

В 1892 году появилась знаменитая докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». В этом замечательном труде задача об устойчивости движения была впервые  поставлена во всей ее общности и были предложены мощные и вместе с тем  строгие методы ее решения. Эта работа Ляпунова явилась отправным пунктом  всех дальнейших исследований по теории устойчивости движения.

Выше было дано весьма схематичное определение устойчивости и неустойчивости движения. Эти понятия требуют, разумеется, более точного определения. Различные авторы по-разному определяли эти понятия и вследствие этого по-разному ставили задачу устойчивости. Наиболее общая постановка задачи дана Ляпуновым. Эта постановка оказалась исключительно удачной и наиболее соответствующей нуждам приложений. Этим и объясняется тот особый интерес, который проявлен к теории Ляпунова в последние годы, когда современная техника, в которой приходится иметь дело с огромными скоростями и широким внедрением автоматики, сделала особо актуальной задачу об устойчивости движения.

Этот реферат посвящен теории устойчивости движения в смысле Ляпунова. В нем излагаются основные результаты Ляпунова и его последователей.

2. Понятие устойчивости по Ляпунову.

Подойдем к вопросу  устойчивости более строго. Движение каждого объекта описывается  системой n дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме:

(1.1)

Если объект имеет одну степень свободы, то его движение описывается системой:

нелинейной 

(1.2)

линейной

(1.3)

В системе (1.1) неизвестными являются функции времени , в системах (1.2) и (1.3) - и . Пусть функции определены в n-мерном шаре радиуса R: и удовлетворяют там некоторым условиям, гарантирующим существование непрерывно дифференцируемых функций

 

являющихся решением системы (1.1). Дополним систему (1.1) начальными условиями. При существует набор чисел взятых из n-мерного шара , позволяющий единственным образом получить Функции при этом переходят в единственную систему частных решений системы (1.1):

 

В дальнейшем придется изменять начальные условия и соответственно частные решения. При этом предполагаем, что эти изменения не выводят  функции и начальные условия из области определения правой части уравнений (1.1). Дадим определение устойчивости системы. Пусть известно частное решение системы (1.1) , отвечающее начальным условиям при ; . Изменим начальные условия из области определения при ; . Частное решение, отвечающее этим новым условиям, обозначим . Функции описывают так называемое невозмущенное решение, а - возмущенное решение.

Решение системы (1.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого заданного сколь угодно малого положительного числа можно указать такое малое положительное число , что при

(1.4)

для всех и выполняется неравенство

(1.5)

Если при выполнении всех условий (1.4) хотя бы для одного не выполняется условие (1.5), т.е. , то решение называется неустойчивым. Если при выполнении условий (1.4), (1.5) выполнены еще условия

 (1.6)

для всех , то решение называется асимптотически устойчивым. Если среди равенств (1.6) хотя бы одно, например для , не выполнено, но выполнены все условия (1.5), то решение называется неасимптотически устойчивым. Если , то говорят об устойчивости нулевого решения (точки покоя). Если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое малое , зависящее от ε, что при

(1.7)

для всех и выполняются неравенства

(1.8)

то нулевое решение  называется устойчивым по Ляпунову. Если при выполнении всех условий (1.7) для всех хотя бы одно из условий (1.8) не выполнено, то нулевое решение называется неустойчивым.

Если при выполнении условий (1.7) и (1.8) выполнены еще условия

(1.9)

для всех, то нулевое решение называется асимптотически устойчивым.

Если при выполнении условий (1.7) и (1.8) не все условия (1.9) выполнены, то нулевое решение называется неасимптотически устойчивым.

Если говорить об устойчивости при изменении силовых воздействий, то изменение сил отражается на изменении  коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих движение. Те системы, решение которых не меняется при малом изменении коэффициентов, называются грубыми. Грубые системы называются устойчивыми.

ПРИМЕР.

Пусть дано дифференциальное уравнение .

Общее решение этого уравнения +1(*).

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Это решение получится  при C=0. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Найдем значение C из (*): , откуда .

Подставляя это значение в равенство (*), получим .

Очевидно, решение y=1 является устойчивым. Действительно, ()-1=при .

Следовательно, при произвольном ε будет выполняться неравенство (1.4), если будет выполняться неравенство .

3. Определение устойчивости в терминах движения.

Система дифференциальных уравнений  всегда описывает движение какого-то объекта. Поэтому решения  можно назвать невозмущенным движением, а  - возмущенным. То же относится и к начальным условиям. Нулевому решению удобно поставить в соответствие положение равновесия или точку покоя. Разности иногда называют отклонениями от невозмущенного движения. Определения (1.4)-(1.6) в терминах движения можно сформулировать так.

Невозмущенное движение называется устойчивым по Ляпунову, если при любых  достаточно малых изменениях первоначально  заданных условий (начального положения  и начальных скоростей)  все  отклонения от невозмущенного движения во все последующие времена остаются малыми. Движение называется неустойчивым по Ляпунову, если даже при сколь угодно малых отклонениях от первоначально заданных начальных условий хотя бы некоторые отклонения от невозмущенного движения в последующие времена не остаются малыми. Следовательно, в случае неустойчивости найдется, по крайней мере, одно из значений i=k такое, что при. Невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво, и сверх того, все отклонения от невозмущенного движения при имеют своим пределом нуль, т.е. являются бесконечно малыми (все возмущенные движения имеют своим пределом невозмущенное движение). Невозмущенное движение называется неасимптотически устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову, и при этом существует, по крайней мере, одно возмущенное движение, которое при не имеет своим пределом невозмущенное движение.

Равновесие (точка покоя) называется устойчивым, если все отклонения от положения равновесия во все последующие  времена остаются малыми. Если же хотя бы одно из отклонений от положения  равновесия (точки покоя) в последующее  время возрастает, то равновесие будет  неустойчивым.

4. Возмущения. Уравнения возмущений. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Весьма часто разности () называются возмущениями (начальными) и обозначаются соответственно через и. Тогда условия (1.4), (1.5), (1.6) соответственно могут быть записаны

(2.1)

при                                                                (2.2)

и                                                              (2.3).

Сравнение условий (2.1), (2.2), (2.3) с условиями(1.7), (1.8), (1.9) позволяет  вопрос об исследовании устойчивости движения свести к вопросу об устойчивости равновесия (точки покоя).

Совершив некоторые преобразования можно получить уравнения

(2.4)

называемые дифференциальными уравнениями возмущений, где

 

Приведем без доказательства теорему.

Теорема. Для того чтобы решение системы (1.1) было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение уравнений возмущений было устойчиво.

Теперь можно вместо задачи (1.4) – (1.6) рассматривать задачу об устойчивости нулевого решения системы

 

с нулевыми начальными условиями

 

 

Для линейной системы  уравнение возмущенного движения

Для нелинейной системы уравнение возмущенного движения - где последнее выражение характеризует нелинейные члены.

Система называется системой уравнений первого приближения для уравнений (2.5).

А.М.Ляпунов доказал, что  при определенных условиях вопрос об устойчивости точки покоя нелинейной системы может быть решен на основании  исследования устойчивости точки покоя уравнений первого приближения.

Очевидно, что для линейных систем уравнения первого приближения и уравнения возмущенного движения совпадают. Метод перехода от уравнений (2.4) к уравнениям (2.5), (2.6) называется линеаризацией уравнений.

Теперь сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости нулевого решения систем (2.5), (2.6) для случая, когда коэффициенты относительно постоянны. Т.е.

 

 

Теорема 1. Если все члены системы ограничены по t, раскладываются в ряды по степеням в некотором n–мерном шаре радиуса R, причем разложения начинаются членами не ниже второго порядка и все корни характеристического уравнения системы (2.8)

(2.9)

имеют отрицательные действительные части, то n–мерная точка покоя системы (2.7), (2,8) является асимптотически устойчивой. В этом случае возможно исследование устойчивости по первому приближению.

Теорема 2. Если функции удовлетворяют условиям теоремы 1 и хотя бы один из корней характеристического уравнения (2.9) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (2.7), (2,8) является неустойчивой. В этом случае, следовательно, также возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

Теорема 3. Если в (2.7) все равны нулю, т.е. ограничены по t, а характеристический определитель (2.9) имеет простые корни с нулевой действительной частью, т.е. простой нулевой корень или просто чисто мнимые корни, или нулевой корень и просто чисто мнимые корни, а все остальные корни (если они есть) имеют отрицательные действительные части, то точка покоя устойчива, но не асимптотически.

ПРИМЕР.

Исследовать на устойчивость нулевое решение системы.

 

Разлагаем в окрестности (0,0) в ряды

 

 

Тогда система уравнений  первого приближения для заданной системы запишется в виде

 

Составим и решим характеристическое уравнение:

; .

По теореме 1 точка покоя заданной системы асимптотически устойчива.

5. Особые точки системы двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

(3.1)

Будем предполагать, что  коэффициенты a, b, c, g постоянные, при этом очевидно, что x=0, y=0 есть решение системы (3.1), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение x=0, y=0 было устойчиво. Это исследование проводится так.

Дифференцируем первое уравнение  и исключаем y и на основании уравнений системы:

 

или

.(3.2)

Характеристическое уравнение  дифференциального уравнения имеет  вид

.

Это уравнение принято  записывать в виде определителя

. (3.3)

Обозначим корни характеристического  уравнения (3.3) через . Устойчивость или неустойчивость системы (3.1) определяется характером корней .

Рассмотрим все возможные  случаи.

1. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: .

Из уравнения (3.2) находим .

Зная x, из первого уравнения (3.1) находим y. Таким образом, решение системы имеет вид

 

. (3.4)

Подберем так, чтобы решения (3.4) удовлетворяли начальным условиям:

 

Решение, удовлетворяющее  начальным условиям, будет

 

. (3.5)

Из последних равенств следует, что при любом ε>0 можно выбрать столь малыми, что для всех t>0будет , т.к. .

Отметим, что в данном случае

.

Рассмотрим плоскость  xOy. Для системы дифференциальных уравнений (3.1) и дифференциального уравнения (3.2) эта плоскость называется фазовой плоскостью. Решения (3.4) и (3.5) системы будем рассматривать как параметрические уравнения некоторой кривой на фазовой плоскости xOy:

, (3.6)

. (3.7)

Эти кривые являются интегральными кривыми или траекториями дифференциального уравнения

, (3.8)

которое получается из системы (3.1) путем деления друг на друга правых и левых частей.

Начало координат О(0;0) является особой точкой дифференциального уравнения (3.8), так как эта точка не принадлежит к области существования и единственности решения.

Характер решений (3.5) и вообще решений системы (3.1) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых

(3.9)

образующих общий интеграл дифференциального уравнения. Постоянная C определяется из начального условия . После подстановки значения C получаем уравнение семейства в форме

(3.10)

В случае решений (3.5) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при . Другими словами, если точку в начальный момент времени «вытолкнуть» сколь угодно далеко из состояния покоя О(0;0), то она неминуемо вернется обратно.

Отметим, что характер поведения  траекторий уравнения (3.9) вблизи начала координат при произвольных коэффициентах такой же, какой будет рассмотрен в примерах.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

.

Его корни

Тогда решения , .

Очевидно, что при. Решение x=0, y=0 устойчиво. Обратимся теперь к фазовой плоскости. Из условия получаем .

Это система парабол.

Особая точка О(0;0) есть устойчивый узел.

2. Корни характеристического уравнения действительные, положительные и различные: .

В этом случае решения выражаются также формулами (3.4) и (3.5) соответственно. Но в данном случае при как угодно малых будет при , так как и при, так как при . На фазовой плоскости особая точка – неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя x=0, y=0. Другими словами, если вывести точку из состояния равновесия даже на сколь угодно малую величину, она с ростом времени будет неограниченно удаляться от точки покоя.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

 

Его корни .

Тогда решение , .

Решение неустойчиво, т.к. при . Исключая параметр из уравнений получаем

Особая точка О(0;0) есть неустойчивый узел.

3. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например .

Тогда при как угодно малых, если , будет при . Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

.

Его корни

Тогда решения , .

Решение неустойчиво. Обратимся  теперь к фазовой плоскости. Исключая параметр из уравнений получаем .

Особая точка О(0;0) есть седло.

4. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью:

Решение системы (3.1) будет

 

, (3.11).

Если ввести обозначение

, , ,

то уравнения можно  переписать в виде

 

,

где и – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий: , при t=0, причем

 

откуда находим

(3.12).

Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения

 

Решение устойчиво. В данном случае при

 

неограниченное число  раз меняя знаки. На фазовой плоскости  особая точка называется устойчивым фокусом.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

 

Характеристическое уравнение  будет

 

Его корни .

Находим по формулам (3.12). Подставляя в (3.11), получаем

 

.

Очевидно, что при любых  значениях t

.

При имеем . Решение устойчиво.

Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в  этом случае. Пусть

, ,

, .

Тогда

.

Перейдем к полярным координатам ρ,θ и установим зависимость ρ=f(θ). Уравнения принимают вид

.

Возводя в квадрат и  складывая, получаем

 

Установим зависимость t(θ). Деля уравнения друг на друга получаем

 

откуда

 

или

 

Обозначая , окончательно получим

 

Это семейство логарифмических спиралей. В этом случае при точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка O(0;0) есть устойчивый фокус.

5. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: .

В этом случае решения выражаются также формулами (3.11), где . При любых начальных условиях и при величины могут принимать как угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

 

Его корни .

Решение (3.11) с учетом (3.12)

 

.

На фазовой плоскости  получим кривую в полярных координатах

.

Особая точка – неустойчивый фокус.

6. Корни характеристического уравнения чисто мнимые..

Решения в этом случае примут вид

 

.

Откуда по (3.12)

.

Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения

 

Решение устойчиво.

Проведем анализ интегральных кривых на фазовой плоскости. Первое из решений запишем в виде

 

,

Исключаем параметр из уравнений

.

Далее получим

 

Это семейство кривых второго  порядка. Каждая из них не имеет неограниченно  отдаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

 

Характеристическое уравнение будет

 

Его корни .

Решение

 

.

На фазовой плоскости  получим эллипсы

 

Особая точка – центр.

7. Пусть

Решение в этом случае принимает  вид

 

 

Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения Следовательно решение устойчиво.

8. Пусть

Решение неустойчиво, т.к. + при .

9. Пусть . Решение будет

 

.

Так как в данном случае при , то при любом ε>0 можно подобрать что будет при любом . Решение устойчиво.

10. Пусть .

Форма решения остается  такой же, как и в предыдущем случае, но при , . Решение неустойчиво.

11. Пусть . Тогда

,

.

Откуда видно, что  и при . Решение неустойчиво.

Теперь дадим общий  критерий устойчивости решения системы (3.1).

Запишем корни характеристического  уравнения  в форме комплексных  чисел:

,i.

Возьмем плоскость  комплексного переменного и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (3.1) можно сформулировать следующим образом.

Если ни один из корней характеристического уравнения  не лежит не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво.

Заключение.

Разработка теории устойчивости движения ведется по многим направлениям. Здесь надо назвать развитие и  применение первого и особенно второго  методов Ляпунова, в том числе метода вектор-функций Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих и углубляющих эти методы; анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения; исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действующих возмущениях; исследования устойчивости периодических и неустановившихся} движений и устойчивости на конечном интервале времени; развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений; исследования устойчивости движения по отношению к части переменных, устойчивости гамильтоновых систем и устойчивости в случае внутренних резонансов; разработка методов исследования устойчивости на ЭВМ; распространение методов Ляпунова на системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения с последействием), на системы с распределенными параметрами, на сплошные среды и многие другие. Метод функций Ляпунова с успехом применяется также во многих областях анализа, например, в получении оценок приближенных интегрирований, в теории оптимального управления и оптимальной стабилизации, в теории дифференциальных игр, в теории нелинейных колебаний и во многих других областях науки и техники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

1. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М. Наука, 1966. - 530 с.
2. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.Н., Михайленко В.М. Высшая математика.-К.: Выща шк., 1989. – 679 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т II. – М.: Интеграл-Пресс, 1998. – 544 с.
4. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Часть 4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. Операционный метод. Учебное пособие. – Томск, Изд. «Дельтаплан», 2007. – 264 с.