Треугольник Паскаля и его связь с биномом Ньютона

Связь Треугольника Паскаля  с биномом Ньютона 

Того кто еще  не знает, что такое треугольник  Паскаля,нужно предупредить, что это не геометрический треугольник с тремя углами и тремя сторонами. Треугольником Паскаля называют одну важную числовую таблицу, с помощью которой можно решать ряд вычислительных задач. В этой таблице по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.

Иэвестно, что  
(a+b)^o=1  
(a+b)¹=a+b  
(a+b)²=a²+2ab+b²  
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Но, как раскрывать скобки при вычислении выражения (a+b)ⁿ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.  

Теорема

Имеет место  равенство:  (a+b)ⁿ = C^o_n aⁿ b^o + C¹_n a^n-1 b¹ +.....+  C^k_n a^n-k b^k +.....+  Cⁿ_n a^o bⁿ   (1)

где С^k_n= n! / (k!(n-k)!)  

Эту теорему  иногда называют биноминальной теоремой, а числа C ^к_n - биноминальными коэффициентами. Равенство(1) часто называют биномом Ньютона, хотя это название исторически не является справедливым, т.к формулу для  (a+b)ⁿ знали еще среднеазиатские математики Омар Хайям (1048-1131),   Гийас ад-Дин Джелд ал-Коши (ум.ок 1430). В Западной Европе до Ньютона ее знал Паскаль (1623-1662). Заслуга Ньютона состоит в том, что он обобщил эту формулу для нецелого показателя n.

Доказательство  формулы Ньютона можно провести несколькими способами.

Самый традиционный способ - доказательство с помощью  метода математической индукции.(Докажите самостоятельно). 
 
Второй способ основан на методе производящих функций.  
Докажем формулу (1) для частного случая:  
a = 1, b = x, т.е докажем формулу: (1+x)ⁿ=1+ nx + n(n-1)x²/2! + n(n-1)(n-2)x³/3! +....+ xⁿ  (2)

Обозначим коэффициенты в разложении (1+x) при степенях x через B₀, B₁, B₂, ...B_n, т.е

(1+x)ⁿ= B₀ + B₁x + B₂x² +...+ B_nxⁿ  (3)

Подставив в  записи (3)  x=0, найдем значение B₀=1. Возьмем затем производную от обоих частей равенства (3), то получим:  n(1+x)^n-1= B₁ + 2B₂x + ...+ nB_nx^n-1 (4) Отсюда,при x=0 находим B₁=n. 

Теперь возьмем  вторую производную от обоих частей равенства  (3), получим:

n(n-1)(1+x) =  2B₂ +....+ n(n-1)B_nx^n-2 (5)

При x=0 получаем B₂ = n (n-1) / 2 и т.д.  На k-том шаге при вычислении k-й производной для равенства (3), получим B_k = (n (n-1)(n-2)....(n-k)) / k! ,  ч.т.д. 
 

На  содержание

Cвойства биноминальных коэффициентов 

Рассмотрим теперь некоторые из свойств биноминальных  коэффициентов.

1. Одно из важных свойств биноминальных коэффициентов заключается в следующем равенстве: C^k_n = C^k _n-1 + C^k-1_n-1 (6) Докажите это свойство непосредственным вычислением самостоятельно.

Но, мы предлагаем вам более интересный способ доказательства. Для это рассмотрим прямоугольную сетку размерами k x n (см. рис 1) и сформулируем следущее утверждение.

 
Утверждение.  Число различных кратчайших путей на этой сетке, ведущих из левого нижнего угла  ( из точки О(o,o)) в правый верхний угол (в точку В(k,n)) равно C^k_n+k.

Тогда, воспользовавшись данным утверждением, можно заключить, что число различных кратчайшых путей из точки О(0,0) в точку А(k, n-k) равно  C^k_n . Все такие пути можно разделить на две группы: 1) пути, проходящие через точку А1(k-1,n-1). Их число равно  
C^k-1_n-1. 2) пути, проходящие через точку А2(k,n-k-1). Их число равно C^k _n-1 (См. рис.2.) Следовательно, C^k_n =C^k_n-1+ C^k-1_n-1 . 

 
Используя равенство (6), можем выписать последовательно биноминальные  коэффициенты в виде треугольной  таблицы (рис.3), которая называется треугольником Паскаля.

   
рис.3

2. Следующим свойством биноминальных коэффициентов является равенство: 
   

C⁰_n+ C¹_n+ C²_n +...+ Cⁿ_n =2ⁿ    (7)

Это равенство  можно заметить, разглядывая треугольник  Паскаля: сумма чисел, стоящая в n-й  строке, равна 2ⁿ. Доказательство этого равенства можно также привести несколькими способами.

Первый способ основан на комбинаторных идеях. Рассмотрим следующую задачу. В доме имеется n  лампочек сколькими способами можно включить k лампочек ( 0<=k<=n), если у каждой из них свой выключатель? 
С одной стороны, для каждой лампочки имеется только две возможности (быть включенной или не быть включенной), т.к всего лампочек n, то по правилу произведения получаем  2ⁿ способов. С другой стороны, из n лампочок можно выбрать и включить 0,1,2,3,...,n лампочек. Количество способов можно тогда записать через число сочетаний: C⁰_n+ C¹_n+ C²_n+...+ Cⁿ_n . Из выше сказанного следует, что C⁰_n+ C¹_n+ C²_n+...+ Cⁿ_n =2ⁿ.

Свойство 2 можно также доказать, используя  формулу (3) бинома Ньютона, подставив  в нее x=1. Можно для доказательства формулы (6) опять использовать метод  математической индукциию.

А теперь перейдем к рассмотрению самого треугольника Паскаля и сформулируем некоторые  основные свойства.  

На  содержание

Свойства  треугольника Паскаля.

1. Заменим в треугольнике Паскаля четные числа на 0, а нечетные на 1, (т.е рассмотрим треугольник Паскаля по модулю 2) . (рис.4)

   рис.4

Можно ли увидеть на рисунке 4 какую-нибудь закономерность? Да! Развернем треугольник Паскаля, так как показкно на рисунке 5.

рис.5.

Тогда видно, что все числа расположены  левее диагонали квадрата.(рис 6).

рис.6

Нарисуем  наш треугольник на клетчатой  бумаге так, чтобы каждое число стояло в отдельной клетке. Раскрасим  клеточки следующим образом: если в  клетке стоит число 0, то красим ее белым  цветом, если стоит число 1, то-черным (рис.7).

рис.7

Рассмотрим  квадраты 4x4 полученного таким образом  квадрата. В этом квадрате 16 клеток (см.рис.8).

рис.8.

Закономерность  будет верна для любого m.

2. Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь: Образуем для каждой восходящей диагонали прямоугольного треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.

Треугольник Паскаля - арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится  равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам  стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Обладает симметрией относительно вершины. ^[1]

Имеет применение в теории вероятности и обладает удивительными свойствами.

В книге Мартина Гарднера «Математические новеллы» есть такие слова о треугольнике Паскаля: ^[2]

Треугольник Паскаля  так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время  он таит в себе неисчерпаемые сокровища  и связывает воедино различные  аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник  Паскаля одной из наиболее изящных  схем во всей математике.

История

Треугольник Паскаля  упоминается ещё Омаром Хайямом около 1100 года. В 1303 году была выпущена книга "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций. Изображен он был позже на титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. ^[1] А в 1653 году (в других источниках в 1655 году^[1]) вышла книга о треугольнике Паскаля Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике». ^[2]

Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты

Удивительные  свойства

• Число второго столбца соответствует номеру строки, на которой расположено число.
• Число третьего столбца равно сумме номеров строк, предшедствующих строке, на которой расположено число.
• Числа третьего столбца являются треугольными числами. ^[3]
• Числа четвертого столбца являются тетраэдрическими числами. ^[3]
• Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи^[3].
• Если вычесть из центрального числа соседнее число, то получится число Каталана. ^[3]
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2ⁿ. ^[3]