Уравнения с параметрами

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

работа

 по  алгебре по теме:

«УРАВНЕНИЯ  С ПАРАМЕТРАМИ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Подготовила

Ученица 9 класса «В»

МОУ СОШ  № 40

Климанёва Анна 

Учитель:

Салий Валентина  Павловна 
 
 
 
 
 

                                         Г. Новороссийск 2010год

Оглавление 

Введение  ……………………………………………………………………. 3

Цель работы   ………………………………………………………………... 4

Задачи   ………………………………………………………………………. 5

Общие определения   ………………………………………………………... 6

I глава. Линейные уравнения с параметрами

Теория  …………………………………………………………………… 7

Практика  ………………………………………………………………… 8

II глава. Квадратные уравнения с параметрами

Теория  …………………………………………………………………… 12

Практика  ………………………………………………………………… 15

III глава. Дробно – рациональные уравнения с параметрами

Теория ……………………………………………………………………. 19

Практика  ………………………………………………………………… 20

IV глава.  Уравнения с модулем и параметрами

Теория ….………………………………………………………………… 26

Практика  ………………………………………………………………… 27

V глава. Уравнения с параметрами в ГИА.   ………………………………. 31

Заключение  ..………………………………………………………………… 34

Список используемой литературы  ….……………………………………… 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

      Известно, что решение задач с параметрами  приводит к систематизации имеющихся  знаний, развивает творческое мышление, учит детей к поиску нестандартных  ситуаций, тем самым показывает деятельность людей, связанных с математикой. 

  Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении  задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных  методов решений, умение проводить  довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. Опыт вступительных экзаменов показывает, что учащиеся, владеющие методами их решения, обычно успешно справляются и с другими задачами.

      Задачи  с модулями и параметрами играют важную роль в формировании логического  мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает значительные трудности. Это связано с тем, что каждое уравнение  с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений и неравенств, для каждого из которых должно быть получено решение. Решение задач в математике является эквивалентом эксперимента. Работа строится на решении различных по степени важности и сложности задач.

  Задачи  с параметрами представляют собой  небольшие исследовательские задачи. Однако часто оказывается, что выпускник  школы либо вообще не имеет представления о решении задач с параметром, либо теряется даже в случае самого простого вида подобных задач, когда единственным усложняющим моментом является ветвление решения и, соответственно, ветвление ответа.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Цель  работы 

     Задачи  с параметрами практически не представлены в школьном курсе математика. Между тем они часто встречаются  на вступительных экзаменах в  вузы, причем не только на математические специальности, но и на гуманитарные. Для решения задач с параметрами  не требуется обладать знаниями, выходящими за рамки школьной программы. Однако непривычность формулировки обычно ставит в тупик учащихся, не имеющих опыта решения подобных задач.

     Цель  моей работы изучить методы решения  различных уравнений с параметрами  и научится применять теоретические знания на практике. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задачи  

В процессе подготовки работы были поставлены задачи:

- изучение теоретического  материала

- изучение параметра  как математический термин

- применение  теоретических знаний на практике

- подготовка  к ГИА 
 

             Главная задача работы  является  ознакомление с теоретическими  основами  решения  уравнений   с  параметрами, основными   их видами  и  рекомендациями  к  решению. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общие определения 

Равенство, содержащие переменную, называется уравнением, если необходимо найти значения переменной, при которых оно обращается в верное числовое равенство.

Уравнение с  одной переменной в общем виде записывается так:

1

Значение переменной при котором уравнение является верным, называется корнем уравнения.

Множество значений переменной x, при которых имеют смысл выражения и , называется областью допустимых значений переменной (ОДЗ)  или областью определения уравнения. 

Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. 

Уравнение с параметрами — математическое уравнение, внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример линейного  уравнения с параметром

 
 
 
 
 
 

Линейное уравнение.

Линейное  уравнение — это уравнение, обе части которого могут быть выражены многочленоми (от неизвестных) первой степени.

Линейное уравнение  можно привести к виду: ax + b = 0.

Количество решений  зависит от параметров a и b. Если a = b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку ,

Если  , то уравнение не имеет решений, поскольку

 

Если  , то уравнение имеет единственное решение

Линейное уравнение  не может содержать:

• Не содержит степеней и экспонент. 
  Например: 
• Не содержит деления на переменную и произведения переменных. 
  Например: 
• Не содержит корня любой степени из переменной. 
  Например: 

 
 

Два основных правила  преобразования уравнений:

• В уравнении можно перенести слагаемые из одной части в другую, изменив при этом его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0.

Решить  уравнение – это значит найти множество его корней. 
 
 
 
 
 
 

Решение линейных уравнений  с параметром. 

№1. 

ax – 6 = 2a –  3x

ax + 3x = 6 + 2a

( a + 3 ) x  = 2 ( a + 3 ) 

Рассмотрим все  возможные случаи 

a = - 3   и  a ≠ 0

если a = - 3 то х R

 a ≠ -3

x = 2 

Ответ: если a = - 3, то х R; если a ≠ -3, то x = 2 

№2. 

( a – 2 )x = 10 –  5x

a = 2  или   a ≠ 2

если   a = 2

0 = 10 – 5x

5x = 10 I :5

x = 2

если  a ≠ 2

ax – 2x = 10 –  5x

ax + 3x = 10

x (a + 3 ) = 10

Ответ: при a = 2, x = 2; при a ≠ 2, , кроме а ≠ - 3 

№3. 

( 5b – 20 )х = 15

b = 4   или b ≠ 4

0x = 16 – решений нет

b ≠ 4

 

Ответ: при b = 4 – решений нет; при b ≠ 4,  

№4. 

8x – ( 2x + 4 ) = 2( 3x – a)

8x - 2x – 4 = 6x –  2a

6x – 6x -4 = -2a

2a = 4 I :2

a = 2 

Ответ: при любых  значениях а в данном уравнение х R. 

№5. 

( 5a – 1 ) x = 2a + 3

5a – 1 = 0                 2a + 3 = 0

5a = 1 I : 5                2a = -3 I : 2

a = 0,2                        a = - 1,5

a ≠ 0,2   и   a ≠ 1,5

( 5a – 1)x = 2a + 3

   

Ответ: при  а = 0,2 и а = - 1,5 данное уравнение не имеет  смысла; при a ≠ 0,2   и   a ≠ 1,5,  

№6.  

( а + 7) х = 3

а = -7   или  а ≠ -7

если  а = -7

0х = 3 – корней  нет

а ≠ -7

( а + 7)х = 3

Ответ: при а = -7 данное уравнение корней не имеет; при а ≠ -7, . 

№7.  

2а ( а –  2)х = а - 2

 а = 0    а = 2    а ≠ 0   а ≠ 2

при а = 0,  х = - 2 – ложно.

при а = 2,  х = - 2 – ложно .

при а ≠ 0  и   а ≠ 2

 

Ответ: при а = 0 и а = 2 данное уравнение не имеет  решений; при а ≠ 0 и а ≠ 2,  . 

№8. 

( а – 1)( а  -2)х = а – 1

а = 1

0х = 0,   х R.

а = 2

0ч = -1 – корней  нет

а ≠ 1 и а ≠ 2

 

Ответ: при а = 1, х  R; при а = 2 – корней нет; при а ≠ 1 и а ≠ 2, . 

№9. 

 

Ответ: при а = 1, х  R; при а = -3, х = 0; при а ≠ 1 и а ≠ - 3,  

№10. 

При каком значении а уравнение    а( х – 1) = 2х + 5  не имеет корней. 

а( х – 1) = 2х + 5 

ах – а  – 2х – 5 = 0

( а – 2)х  = а + 5

а = -5

-7х = 0

х = 0

а = 2

0х =3 – корней  нет.

а ≠ -7 и а ≠ 2

 

Ответ: при а = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Квадратное  уравнение. 
 

Квадратное  уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где .

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 равносильно уравнению:

Выделяя полный квадрат, получаем

Далее имеем:

откуда

окончательно

Выражение ( b-4ac)  называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.      

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня: которые могут быть вычислены по формулам:

или

     

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если D < 0, то действительных корней нет.

Квадратное  уравнение со старшим коэффициентом равным 1, то есть 
уравнение вида , называется приведённым.

Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

В общем случае (для неприведённого квадратного  уравнения ax² + bx + c = 0):

 

Разложение квадратного уравнения на множители  

Выражение ax² + bx + c   называется квадратным относительно переменной x. Корни этого квадратного трехчлена являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.  

на основании  теоремы Виета

отсюда

Имеем:

ax² + bx + c = ax

- a(x +x )x + ax x = ax - ax x - ax x + ax x = 

ax(x-x

) - ax (x-x ) =  (ax-ax )(x-x ) =  a(x-x (x-x ).

Итак,

ax² + bx + c =  a(x-x

)(x-x ).

Если квадратный трехчлен имеет вид , то получаем

     Если D > 0, то      

Если D = 0, то

Решение квадратных уравнений  с параметром

При решении  таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.

1. Зависимость  количества корней квадратного  уравнения от его дискриминанта. 

D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней).

2. Если D > 0 то  аx² + вx + с = а (x – x₁) (x – x₂)

3. Если D > 0, то  левую часть можно представить  в виде полного квадрата или  выражения, ему противоположного 

ax² + вx + с = а (x – x₁)²

4. Если уравнение  приведенное то x₁ + x₂ = – р, аx₁ • x₂ = q

5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два  действительных различных корня

а) в < 0, с > 0 оба корня положительны 
б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны 
в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль. 
г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение квадратных уравнений  с параметрами. 

№1. 

Найти значения k  при котором данное квадратное уравнение имеет корни. 

 
 
 

 

Ответ:

 

№2. 

b < 0 – решений нет  

Ответ: b > 0, x = - 1; b = 0, х R; b<0 – решений нет. 

№3.  

Найти корни  уравнения при D > 0. 

x² - ( 2p + 1 )x + ( p² + p – 2 ) = 0

D = ( 2p + 1 )²  - 4( p² + p – 2 ) = 4p² + 1 + 4p - 4p² -4p + 8 = 9

√D = 3

 

Ответ: p-1, p+2. 

№4. 

При некотором  значении параметра р корни квадратного  уравнения

2px² + ( p² - 9 )x - 5p + 2 = 0 являются противоположными числами. Найти корни уравнения.

2px² + ( p² - 9 )x - 5p + 2 = 0

 

Ответ:  

№5. 

Найти значение р при котором данное квадратное уравнение имеет корни. 

3x² + 2px - (p –  6) = 0

D ≥ 0.

D = 4p² - 12p -72 ≥  0

p² + 3p -18 ≥  0

p = -6; p = 3 
 
 

p (-∞;-6] v [-3;+∞). 

Ответ: p (-∞;-6] v [-3;+∞). 

  №6 

Найти значение k при котором данное уравнение имеет не более одного корня.

2x² - kx + k + 6 = 0

D ≤ 0

D = k² - 8(k+6) = k²  -8k -48

k² - 8k – 48 ≤  0

k = 12, k = - 4. 
 
 

Ответ: k [-4;12]. 
 

№7 

ах² - 3х + 4 = 0

1) а = 0

     -3х  + 4 = 0

      3х = 4

      х =

2) а > 0

    ах²  - 3х + 4 = 0

    D = 9 – 16 = - 7 – решений нет

3)  а < 0

     - ах² - 3х + 4 = 0

     D = 9 + 16 = 25

    √D = 5

     х =               х =

  х = 1                    х = - 4 

Ответ: при а = 0, х = ; при а > 0 – решений нет; при а < 0, х = 1; -4.

№8 

При каких значениях  параметра p данное уравнение имеет один корень.

x² + 3px + p = 0

D = 0

D = b² - 4ac

D = 9p² - 4p

9p² - 4p = 0

p ( 9p – 4 ) = 0

p = 0       или     9p – 4 = 0

                           9p = 4│:9

                           p =  

Ответ:  0; . 
 

№9 

Докажите, что  не существует такого значения параметра p, при котором данное уравнение имело бы только один корень. 

x²- px + p – 2 = 0

D ≠ 0

D = b² - 4ac

D = p² - 4( -2 + p ) = p² + 8 – 4p

p² + 8 – 4p = 0

D = 16 -32 = -16

D < 0, значит D ≠ 0 и уравнение имеет 2 корня. 
 

№10. 

x² - ( 2p – 2 )x + p² - 2p = 0

D = ( 2p – 2)²  - 4( p² - 2p) = 4p²- 8p + 4 – 4p² + 8p = 4

√D = 2

 

x =                x =

x = p                              x = p - 2