Уравнения стационарной фильтрации

РАДИАЛЬНАЯ  И  ПЛАНОВО-РАДИАЛЬНАЯ  ФИЛЬТРАЦИЯ (ВОДОПРИТОК К СОВЕРШЕННЫМ СКВАЖИНАМ)

1S.1* ОСОБЕННОСТИ ФИЛЬТРАЦИИ  И  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

    Особенности фильтрации. Радиальная и планово-радиальная фильтрация формируется при движении воды к скважинам. Для совершенных по степени вскрытия пласта скважин при В, L ^> т выполняется условие (4.29), и фильтрация в неограниченном по распространению пласте схематизируется в силу симметрии потока к радиальной, а при наличии границ — к планово-радиальной (см. гл. 4). Несколько работающих в пласте скважин приводят к «обобщенной» скважине, гидродинамический эффект от действия которой аналогичен одиночной скважине радиусом R₀ с дебитом, равным суммарному дебиту всех взаимодействующих скважин.

    В формировании нестационарной фильтрации выделяют три стадии: а) нестационарную (нерегулярный режим); б) квазистационарнук> (регулярный режим); в) стационарную (стационарный режим). В процессе формирования фильтрации выделяют два периода: первый, когда поток принимается неограниченным в плане, и второй, в течение которого действие границ является ведущим, а поток считается ограниченным. На рис. 13.1 показаны схемы с открытой внешней границей,, на которой задано условие Н_к — const (схемы а, б), и с закрытой,, непроницаемой, где Q = О (схемы в, г). Вначале зона влияния откачки Rnp <£Rk — это расстояние до границы, и процесс развития депрее-сионной воронки идет как в неограниченном пласте. С момента, когда Rnp — Rk,  начинают влиять внешние границы, но различно: граница первого рода уменьшает скорость снижения уровней, и быстро наступает стабилизация (см. рис: 13.1, а> б); граница второго рода, наоборот, ускоряет темп снижения уровней, и могут произойти сработка всего   избыточного,   напора    и    частичное   осушение    пласта     (см. рис. 13.1, в, г).

    Основным граничным условием на скважине является задание ее-расхода Q_CKB постоянным во времени, в сложных случаях график Qckb = / (0 аппроксимируется ступенчатой линией. Менее распространено граничное условие в виде постоянного уровня воды в скважине, которое не позволяет использовать метод суперпозиции. Из рис. 13.2 видно, что при условии Qckb = const на стенке скважины уклон пьезометрической кривой постоянен во времени, что и обеспечивает выполнение граничного условия. В этом случае наблюдаются:

 

    

развитие воронки по площади и уменьшение скорости снижения уровня воды в пласте. При #_СКв = const формируется близкая „ситуация, однако характер динамики уровня иной, так как на стенке скважины градиент потока уменьшается во времени, что обусловливает снижение величины расхода скважины.

    Фильтрация изучена главным образом в однородных и условно однородных толщах, к которым приводятся пласты с хаотической неоднородностью. Решения получены при отсутствии инфильтрацион-ного питания и не учитывают наличия естественного (бытового) потока подземных вод (уклон естественного потока /б = 0, что отвечает -схеме «бассейна»). Такой подход упрощает математическую постановку задачи, так как позволяет искать решение для понижения уровня S_r,_t

 

    

при простых начальных условиях (t = О, S_r, ₀ = 0), а отметку пьезометрического уровня H_r%t находить по формуле (6.55), которая принимает вид

H_rMt = H_e—S_nt* (13 Л)

где Н_е — отметка начального (естественного) уровня подземных вод в данной точке.

    Принятие /б — 0 несколько искажает реальную гидрогеологическую обстановку. Рассмотрим это на примере рис. 13.3. Имеется плоскопараллельный поток с градиентом h ;>0, в котором работает водозаборная скважина с расходом Q_CKB и понижением S_ftt. Сопоставим две гидродинамические сетки: одна характеризует наличие естественного потока грунтовых вод (см. рис. 13.3, знаки 6—#), другая отвечает принятой математической постановке (знаки 4_У 5). В последнем случае линии тока представлены радиусами, линии напора — окружностями, а область питания скважины — кругом, теоретически бесконечно большого радиуса. В условиях потока при откачке возникает подземный водораздел (точка Л), приток воды к скважине локализуется, формируется раздельная линия тока 3, определяющая конечную область питания скважины (ширина этой области В). Таким образом, гидрогеологическая и математическая обстановки различны, и это должно учитываться при анализе полученных расчетом данных.

    Взаимодействие скважин. Этот процесс проявляется в том, что при достаточно близком расположении скважины влияют Друг на друга, вызывая увеличение понижений уровней в них при сохранении деби-тов или уменьшение дебитов при сохранении в скважинах понижений (по сравнению с условиями, когда они работают как одиночные, без взаимодействия). Эффект взаимодействия показан на рис. 13.4. Сум-

 

    

    Граничные условия также переводятся в изображения применением к ним преобразования Лапласа—Карсона по (13.12). При этом граничные условия, постоянные во времени, сохраняют свой вид и после перехода к изображению. Решив задачу в изображениях, переход к оригиналу осуществляют по специальным таблицам обращения, приведенным, например, в справочнике по операционному исчислению, составленному В. А. Диткйным и А. П. Прудниковым, или используют численные методы   [24].

    В развернутом виде уравнение (13.14) имеет вид'обыкновенного дифференциального

и граничные условия (4.42) и на бесконечности в изображениях запишутся так:

13.3. УРАВНЕНИЯ РАДИАЛЬНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ (ВОДОПРИТОК  К ОДИНОЧНОЙ СКВАЖИНЕ)

    Вывод основных уравнений. Получим решение для напорного пласта, использовав гидравлический метод и предпосылку Дюпюи по (4.29), которая строго выполняется для напорных вод (рис. 13.6) и не строго—для грунтовых (см. рис. 4.1). Воспользуемся уравне-

 

    

 

 

В этом случае поток имеет горизонтальный водоупор (см, рис. 13.6, б). Если значения 5 в грунтовом потоке не превышают (0,2—0,3) к_е (где h_e — начальная мощность потока), то вместо зависимостей (13.22) и (13.23) в расчетах можно использовать формулы (13.21) и (13.19), полученные для напорных вод с негоризонтальным водоупором. Так можно поступать при расчетах водопритока в грунтовый   поток.

    И. А. Чарный [31 ] доказал, что при наличии A/i_c уравнение (13.22) является точным.

Кривые зависимости дебита скважины от понижения уровня воды.

Из зависимости (13.21) видно, Что в напорных водах расход и пони-

 

жение   теоретически   связаны   прямолинейной   зависимостью    (см. рис. 13.6, в). Удельный дебит скважины находится из выражения

и от понижения не зависит. В реальных условиях такая зависимость часто нарушается появлением дополнительных сопротивлений в скважине, и зависимость Q_Ckb от S_Ckb описывается кривой второго порядка, которая находится экспериментально по данным опытных откачек, выполняемых как минимум для трех ступеней понижения S_Ckb* Для грунтовых вод, как видно из уравнения (13.22), расход связан с понижением квадратичной зависимостью, а удельный дебит ухменьшается с увеличением понижения (см. рис. 13.6, г).

13.4,  ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ РАДИАЛЬНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

    Получим уравнение водопритока к совершенной скважине в неограниченном пласте (см. рис. 13.1, а). Возьмем фундаментальное решение (13.10), которое описывает действие линейного стока / = т с постоянной интенсивностью q в интервале от т = 0 до т = t (где t — время его работы). Введем новую переменную u~r²/[4a(t—т)], примем для нее пределы интегрирования при т = 0 и = r²/(4at) и при х = t и — со и перепишем выражение (13.10), имея в виду, что

    Полученная зависимость не пригодна для расчетов водопритока, так как в ней используется q, а не расход скважины. Найдем связь между q и Q_ckb из граничного условия (4.42). Для этого продифференцируем (13.25) и полученный результат подставим в (4.42), После преобразования получим

    Приближенность решения объясняется тем, что в силу малости г_с принято er^r~I№>tt\. После подстановки (13.26) в (13.25) приходим к известному решению Тейса (13.17) в виде

 

    

    

    Функция   W (и) = — E_t (— и)  называется  интегральной  показательной функцией, а переменная и определяется по формуле

    

    

если аргумент и функции Е-_г или малый параметр Фурье /₀ удовлетворяют условию

    

    

^{в этом случае формула (13.27) принимает вид}

    

    В работах зарубежных авторов функцию W (и) называют well-function (функция скважины) [8, 34, 50]. Она представляет собой быстро сходящийся ряд при всех значениях и, полученных по формуле (13.28), когда 0 <м •< оо. С достаточной для практики погрешностью (в определении величины S — меньше 5J%), функция — Е_х (— и) может быть заменена с момента времени t > (2,5) г²/а выражением

и становится внешне аналогичной формуле Дюпюи (13.21), если в уравнении (13.30) числитель 2,25 at заменить приведенным радиусом влияния Rnp по зависимости

    Таким образом мы получили условия (13.29), (13.29а) и (13,31), которые используют в качестве критериев (см. гл. 5) при оценке эффективных размеров области фильтрации и сведении нестационарной фильтрации к квазистационарной. Формулу для определения расхода потока в любом сечении получим, если продифференцируем (13.27) по г и подставим полученное выражение в уравнение (4.8), заменив в нем Я на 5. После преобразований имеем:

    Как видно, расход потока быстро уменьшается во времени и стремится к расходу скважины.

    Применение формул (13.27) и (13.30) требует оценки погрешности в определении S_CKb при замене стока г₀ — 0 на скважину г₀ — г_с. Как видно из формулы (13.33), такая замена справедлива по критерию  [53]

 

согласно которому при г_с = 0,1—0,8 м о первых же моментов работы таких скважин погрешность в расчетах Sckb меньше 5 %..

    Решение задач о нестационарном притоке Qckb подземных вод к скважине, работающей с постоянным уровнем S₀ == const (см., рис, 13.1, б), приведено в работе [53], где показано, что при /₀>100 решение близко к зависимости (13,30)

13.5,   КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

    Формула (13,30) характеризует квазистационарный режим фильтрации, который наступает, если соблюдается критерий (13.29) или (13.29а), и имеет ряд особенностей, сближающих его со стационарным режимом, что видно из сопоставления формул (13.32) и (13.21), если последнюю записать относительно S_CKB.

    Найдем в пределах зоны квазистационарного режима скорость снижения уровня и градиент потока, для чего продифференцируем (13.30) в первом случае по t

а во втором по г [см. уравнение (13.20)].

    Анализ зависимостей показывает, что скорость изменения уровня не зависит от расстояния, и, следовательно, во всех точках зоны ква-зистационарного режима она одинакова, а градиент потока не зависит от времени так же, как для условий стационарной фильтрации. При этом разность понижений в двух точках депрессионной кривой постоянна, что видно из уравнения

которое полностью совпадает с уравнением Дюпюи (13.19).

    Следствием этих закономерностей является то, что при откачке депрессионная кривая перемещается во времени параллельно самой себе, поэтому период квазистационарной фильтрации называют упорядоченным, или регулярным, режимом. По этому свойству на опытных кривых, полученных в процессе откачки, выделяют зону квазистационарной фильтрации. Эта зона со временем расширяется, и из уравнения (13.29) ее радиус (как сферы взаимодействия) равен г_кв =

= 0,63  д/W, что составляет примерно половину £?_Пр по (13.31). Формирование этих зон показано на рис. 13.1 и 13.2.

    Следует отметить, что в пределах зоны г_кв согласно (13.33) формируется около 10 % расхода, отбираемого скважиной, остальную часть она получает из внешней области, где фильтрация отвечает зависимости (13.27). Если радиус зоны равен R_np [см. формулу (13.31)1, то в ее пределах формируется 50 % расхода скважины. Решения для

 

    

различных   законов   изменения   дебита   скважины   рассматриваются в работе [6].

    Теоретически по формулам (13.27) и (13.30), влияние откачки распространяется до бесконечности, так как не учитываются инерционные силы и пласт считается абсолютно изолированным, не имеющим вертикального водообмена, В действительности радиус влияния откачки конечен. В, Н. Щелкачев [53] ввел понятие «условный радиус влияния» Rye откачки, которым оценивается такое расстояние от скважины, дальше которого в данный момент времени эффект откачки практически не сказывается (при заданном «пороге чувствительности» величины S или Q). Условный радиус влияния не тождествен R_up и г_Кв.

13.6. УРАВНЕНИЯ ПЛАНОВО-РАДИАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ (СИСТЕМЫ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СКВАЖИН)

    Вывод уравнений для стационарной фильтрации. При построении расчетных зависимостей используют принцип суперпозиции, а суммарное понижение S определяют по зависимости (13.2). При этом принимают скользящую систему координат и ее начало располагают последовательно на каждой из взаимодействующих скважин. В качестве S_t рассматривают решение, полученное для одиночной скважины в соответствующих гидрогеологических условиях. Впервые такой прием использовал Ф. Форхгеймер 150] в задаче о стационарном притоке воды к системе п взаимодействующих совершенных скважин в круговом открытом напорном пласте (рис. 13.7, а). Приняв за исходное решение (13.21) и последовательно определяя S_iy которое создано в точке А под влиянием откачки из скважин Q_u Q₂, . . . , Q_ny получим

где /?_к,ь #к.а, . . . , Як>_п— расстояния до контура питания от каждой из п скважин; г_А^_1у г^_₂, . . . , Гд_"_я — расстояния от каждой из п скважин до точки А.

    

где а_г — коэффициент дебита взаимодействующей скважины, показывающий ее долю в суммарном расходе всех скважин.

    Принимая расстояния между скважинами существенно меньше радиусов влияния а <£ R_K, t и считая, что R_Ktl « /?_к,₂ « - • • ~RK,_n= — R_Ky можно вместо (13.36) записать

 

    Понижение в любой из взаимодействующих скважин можно определить, если представить, что точка А находится на фильтре этой скважины, и рассмотреть последовательно те понижения, которые формируются в этой скважине под влиянием откачки из самой скважины и под действием на нее других скважин. Формула (13.37) примет вид

где S® — понижение, связанное с действием самой скважины с радиусом r°_t и дебитом Q°.\ S* — понижения, формирующиеся под влиянием других п—1 взаимодействующих скважин, расположенных на расстояниях г* от рассматриваемой скважины и имеющих суммарный

дебит Q*_cyM = Q_cyM ~-Q°.

    Вывод уравнений для нестационарной фильтрации. При построении расчетных зависимостей используют аналогичный прием и определяют суммарное понижение, формирующееся в любой точке под влиянием работы системы взаимодействующих скважин по формуле (13.7), используя метод суперпозиции. Для системы взаимодействующих скважин (см. рис. 13.7, а) в качестве исходных используют уравнения (13.27) и (13.30) или (13.32). Если взаимодействующие скважины вводятся в работу одновременно, то общее понижение в точке Л, вызванное их совместным действием, определится выражением

 

    Наступление для  всех  скважин   квазистационарной  фильтрации определяется по условию

где r_max — расстояние максимально удаленной от точки А скважины. В этом случае формула (13.40) с учетом (13.37а) принимает вид

    Для взаимодействующих скважин, работающих с постоянным понижением, нельзя получить расчетные зависимости методом суперпозиции, потому что во всех скважинах под влиянием работы соседних уровень будет непрерывно снижаться. Следовательно, нарушается граничное условие.

    Метод «большого колодца». Для удобства расчетов при большом числе взаимодействующих скважин Ф. Форхгеймер [50] предложил заменить их гидродинамическое действие некоторой условной схемой, в которой скважины расположены по кругу радиусом R₀. Они образуют как бы «большой колодец», работающий с суммарным дебитом всех взаимодействующих скважин. Понижение в центре такого «колодца» определяют по формуле (13.38). При г_х ~ г_г — . . . = r_n = R₀ и  она  принимает вид

    Для реальных систем скважин обычно находят площадь F их расположения (по карте, плану), а затем, вычислив R₀ = <\JFln_y по формуле (13.43) определяют S₀. В работе [53] показано, что уже на расстоянии г > 2R₀ от центра «большого колодца» понижения, рассчитанные по уравнениям (13.43) и (13.38), практически не различаются.

    Аналогичный прием может быть использован и при исследовании нестационарной фильтрации. Рассмотрим п взаимодействующих скважин, работающих с одинаковыми дебитами в зоне квазистационарной фильтрации. Понижение в точке Л, вызванное их влиянием, определяется по формуле (13.42), которая принимает вид

 

^{перепишем формулу (13.44) иначе}

S_A=JbnL\_nJ№L₉ (13.45)

inT p_s

и, принимая p_s — Щ, а R_np— по (13.31), получим формулу, аналогичную (13.43). Зависимости для неравнодебитных скважин приведены в работе   [6].

13.7. УРАВНЕНИЯ ПЛАНОВО-РАДИАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ПЛАСТАХ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПЕРВОГО И  ВТОРОГО РОДОВ

    Влияние прямолинейных границ с граничными условиями первого и второго родов на гидродинамику потока учитывается методами суперпозиции и зеркальных отображений, последний был предложен Ф. Форхгеймером [50]. Этот прием позволяет эквивалентно заменить гидродинамическое действие каждой границы действием фиктивных (зеркально отображенных относительно этой границы) скважин и свести сложную расчетную схему к более простой схеме бесконечного пласта, в котором работает система взаимодействующих реальных и фиктивных скважин. Режим работы последних определяется характером граничных условий, заданных на прямолинейных границах, и выбирается таким, чтобы сохранилась неизменной гидродинамическая сетка движения, отвечающая исходной реальной обстановке.

    Вывод уравнений  фильтрации  для  полуограниченных пластов с границей первого рода (река). Если скважина работает в полуограниченном пласте на расстоянии L от прямолинейной границы постоянного  напора   (Я_р = const или S_p = 0), то ее действие учитывается заданием за контуром на расстоянии L от него фиктивной   нагнетательной  скважины,  представляющей  собой  зеркальное отображение действующей (рис. 13.8). Тем самым схема полуограниченного пласта заменяется расчетной схемой бесконечного пласта, в котором работают две скважины с одинаковым дебитом: одна в режиме откачки при S_Qy другая в режиме нагнетания при минус S₀ (см. рис. 13.8, в). Нагнетательная скважина  гидродинамически  играет «питающую» роль в формировании водопритока к реальной скважине. Для такой расчетной схемы понижение в любой точке пласта определяется методом суперпозиции согласно уравнению (13.2) с учетом знака при величине S,: знак плюс отвечает откачке, минус — нагнетанию.

    Исходным уравнением является (13.27), и для полученной расчетной схемы (см. рис. 13.8, в) имеем: