Уравнения с параметрами. 2

Реферат: Уравнения с параметрами   

Министерство общего и профессионального  образования

                              Свердловской области                             

            Управление образования Администрации  города Нижний Тагил           

    

Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55

    

Образовательная область: математика

 

                                Предмет: алгебра                               

    

РЕФЕРАТ

 

на тему:

    

Решение задач  с параметрами

   

Исполнитель:

 

Научный руководитель:

 

Рецензент областного тура:

    

Нижний  Тагил

 

                                      2004                                     

     Оглавление

     Введение   3

     1. Основные определения   4

     2. Аналитический способ решения задач   5

     2. 1. Линейные уравнения   5

     2. 2. Квадратные уравнения   8

     2. 3. Системы уравнений   13

     3. Графический метод решения задач   16

     4. Заключение   18

     Список литературы    19

    

 

     Введение

 

Изучение многих физических процессов  и геометрических закономерностей  часто

приводит к решению задач  с параметрами. Некоторые Вузы также  включают в

экзаменационные билеты уравнения, неравенства  и их  системы, которые часто

бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе

же этот один из наиболее трудных  разделов школьного курса математики

рассматривается  только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставила  цель более глубокого изучения этой темы,

выявления наиболее рационального  решения, быстро приводящего к ответу.

В первой части моего реферата я  ввожу некоторые обозначения, используемые

впоследствии для более краткой  записи решений; во второй части я  рассматриваю

наиболее стандартный аналитический  способ решения задач, а в третьей  –

графический метод.

Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут  мне при

сдаче школьных экзаменов и при  поступлении в ВУЗ.

      

1. Основные  определения

      

Задачи с параметрами встречаются  фактически с самого начала изучения

математики, когда начинают оперировать  с буквами, как с числами. Они  связаны

с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в  запись которых

наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами.

Введём следующие обозначения  и термины:

     N={1, 2, .} – множество всех натуральных чисел;

     w={0, 1, 2, .} – множество всех натуральных чисел с нулём;

     Z={-N, 0, N} – множество всех целых чисел;

     Q={Z, , где pÎZ, qÎN} – множество всех рациональных чисел;

     R={Q, иррациональные числа} – множество всех действительных чисел;

     Æ – пустое множество – множество, не имеющие ни одного элемента;

     Î – знак принадлежности;

     Þ – знак следствия;

     Û – знак равносилия;

     ОДЗ – область допустимых значений;

     D – дискриминант.

    

2. Аналитический  способ решения задач

 

2. 1. Линейные уравнения

 

Пример 1. Решить относительно х:

    

.

(1)

 

По смыслу задачи (m-1)(x+3) ¹ 0, то есть m ¹ 1,  x ¹ –3.

Умножив обе части уравнения  на (m-1)(x+3), получим уравнение

     , получаем    

          .         

Отсюда при m ¹ 2,25 .

Теперь необходимо проверить, нет  ли таких значений m, при которых

найденное значение x равно –3.

          ,         

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4.

     Ответ: при т ¹ 1, т ¹ 2,25,

т ¹ –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение

; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т

= 1 уравнение (1) не имеет смысла.

Пример 2. Решить относительно х:

    

(1)

 

     ОДЗ: х ³ –а, х ³ 0;

    

Поскольку уравнение (1)Û Û

(2)

 

и левая часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям

ОДЗ  налагаем условие а ³ 0;

    Þ   

    

;

(3)

 

при этих условиях

          ;         

теперь к условиям (3) добавляем ещё условие

    

; в условиях (3), (4) имеем

(4)

 

при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при

а > 0 х

; отсюда, добиваясь выполнения  условия (4), получаем

                   

     Ответ: при а = 0 х = 0; при а ³

1 уравнение (1) имеет единственное решение х

; при а < 0, 0 < а < 1

уравнение (1) не имеет решений.

Пример 3. Решить относительно х:

    

(1)

 

                          а). Х ³ 0,                         

      ;     

по условию х ³ 0, то есть параметр должен удовлетворять условию

                   

б). Х < 0,

                   

по условию х < 0, то есть

     < 0 < 1;

          .         

     Ответ: при

уравнение (1) имеет два решения

при > 1

уравнение (1) не имеет решений.

    

2. 2. Квадратные  уравнения

 

Пример 1. Решить относительно х:

    

(1)

 

а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2;

б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а > х Î Æ;

при 1– 4а ³ 0 Þ а £   .

     Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹

0 и а £

уравнение (1) имеет два решения

; при а ¹ 0 и а >

уравнение (1) не имеет решений.

При исследование квадратичной функции  мы используем теоремы, которые также

помогают при решение задач  с параметрами.

     Т₁. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0,

     c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b

< 0, c > 0, то оба корня этого уравнения

неотрицательны.

     Т₂. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного

уравнения были больше заданного числа d:

                     

Пример 2. При каких значениях  параметра а, корни уравнения неотрицательны:

    

(1)

 

Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим

    

(2)

 

По Т₁:                                     ;

1). D = ; приводим к общему знаменателю а², получаем

     ;  .

    

 

    

 

    

 

2). > 0;

корень уравнения  :

а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на

координатную прямую (Рис. 1).

Получаем а < –2, а > 0

    

Рис. 1

 

3). ; корень уравнения : а = –3

    

 

    

 

и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).

    

 

Получаем –3 < а < 0.

    

Рис. 2

 

4). Объединим полученные результаты:

    

(Рис. 3)

 

Получаем 

    

	Рис. 3

 

     Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни.

Пример 3. При каких значениях  параметра а, корни уравнения больше 1:

    

(1)

 

По Т₂:                                     .

1).

     > 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем

    

 

    

 

     корни данного

уравнения: .

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

    

 

    

Рис. 4

 

    

 

Получаем  < а <                                      

 

2). , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0;

     2а + 1 > 2а Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R.

3). Y(1) = 2а –2;

     корни уравнения 2а(а-1) > 0: а₁ = 0; а₂ = 1.

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

    

 

    

 

    

 

    

Рис. 5

 

Получаем а < 0, а > 1

4). Объединим полученные результаты:

    

(Рис.6)

 

    

 

    

 

    

Рис. 6

 

Получаем 

     Ответ: при корни уравнения (1) больше 1.

Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены

строго между –2 и 4:

    

Способ 1:

(1)

 

     ; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4:

    

Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).

    

 

Получаем 

    

	Рис. 7

 

     Способ 2:

По Т₂:

                   

1). D = 1> 0;

2). ;

3). Y(–2) = а²+4а+3

    

 

    

 

     а²+4а+3 > 0; корни уравнения а²+4а+3 =

0: а₁ = –3, а₂ = –1; нанесем

полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

    

 

    

Рис. 8

 

Получаем а < –3, а > –1.

     Y(4) = а²–8а+15

    

 

    

 

     а²–8а+15 > 0; корни уравнения а²–8а+15 =

0: а₁ = 3, а₂ = 5; нанесем полученные

точки на координатную прямую (Рис. 9).

    

Рис. 9

 

    

 

Получаем а < 3, а > 5.

4). Объединим полученные результаты:

    

(Рис.10)

 

    

 

    

Рис. 10

 

                 Получаем –1 < а < 3.                

     Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4.

Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением

2х₁+х₂ = 3:

             

по теореме Виета: ;

составим и решим систему:

получаем х₁ = 1, х₂ = 1, тогда

а = 1.

     Ответ: а = 1.

    

2. 3. Системы уравнений

 

Системы линейных уравнений типа:

1)     имеют единственное  решение, если 

2)     не имеют решений,  если 

3)     имеют бесконечное  множество решений, если 

Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное

множество решений:

    

Система (1) имеет бесчисленное множество решений, когда

(1)

 

                   

1)     , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ –3;

    

2)     , ОДЗ: а ¹ –3, а ¹ ;

    

     , разделим обе части уравнения на 4:

    

3)     , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ ;

    

     Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение;

б) не имеет решений:

    

(1)

 

а). Система (1) имеет единственное решение, когда

                     

так как 5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6.

б). Система (1) не имеет решений, когда

                     

1)     отсюда m = 6.

2)     отсюда n ≠ 8.

3)     отсюда n ≠ при m = 6 n ≠ 8, при n ≠ 8 m = 6.

     Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет

единственное решение; б) при n ≠ 8 и m = 6

система (1) не имеет решений.

Пример 3. Решить относительно х:

    

(1)

 

1)     а < 0, тогда получаем систему

    

если   то система (2) несовместима, а если  , то – а < х <  2) а = 0, тогда получаем систему 3) а  0, тогда получаем систему если  , то х > – а, а если – а < – 1 а > 1, то х >

(2)

 

     Ответ: в системе (1) при а ≤ – 1 х

Æ; при

– а < х <

при     а = 0

; при  х >

– а; при а > 1 х >

    

3. Графический  метод решения задач

 

Рассмотренный мною стандартный способ решения задач с параметрами  в отдельных

случаях приводят к сложным и  утомительным преобразованиям. Процесс  решения

может быть иногда упрощен, если применять  графический метод.

Пример 1. При каких значениях  параметра а уравнение имеет единственное решение:

    

(1)

 

Пусть Тогда,

возведя обе части этого уравнения  квадрат, получаем х = t²

– а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе

          .         

График функции  при

условии пересекает

семейство прямых y = a в одной точке при

и при а > 1 (Рис. 11).

     Ответ: при ;  а > 1 уравнение (1) имеет

единственное решение.

    

	Рис. 11

 

Пример 2. Найти все значения параметра а, при котором уравнение имеет

ровно три различных корня:

    

(1)

 

Построим график функции 

для и отразим его

зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси  абсцисс 

y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5

(Рис. 12).

     Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных

корня при а = 5.

    

	Рис. 12

 

    

4. Заключение

 

Итак, я рассмотрела часто встречающиеся  типы уравнений и способы их решений  и

сделала вывод, что наиболее эффективным  является графический метод решения

задач с параметрами.

Работа над данным рефератом  помогла мне в учебе не только в школе, но и в

Городском Компьютерном Центре при  УГТУ УПИ.

Да, я могу сказать, что я научилась  решать уравнения с параметрами, но я не

хочу останавливаться на достигнутом  и поэтому в следующем году я собираюсь

работать над рефератом на тему: «Решение неравенств с параметрами». Также в

данной работе я не рассмотрела  примеры тригонометрических, логарифмических,

показательных уравнений, поэтому  в моём реферате нельзя ставить точку.

    

Список  литературы

 

1.     Амелькин В. В.  и Рабцевич В. Л. Задачи с  параметрами. – М.: Асар, 1996.

2.     Важенин Ю. М. Самоучитель  решения задач с параметрами.  – Екатеринбург:

УрГУ, 1996.

3.     Окунев А. А. Графическое  решение уравнений с параметрами.  – М.: Школа

– Пресс, 1986.

4.     Райхмист Р. Б.  Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа-

Пресс, 1997.

5.     Ястребинецкий Г.  А. Задачи с параметрами. –  М.: Просвещение, 1986.