Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Векторы. 2

Векторы

План

Введение

Из истории векторов.

Основные понятия.

Равенство векторов

Умножение вектора на число

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Координаты вектора на плоскости

Правила действий над векторами, заданными координатами

Векторное произведение.

Координаты вектора на плоскости

Смешанное (скалярно- векторное) произведение векторов.

Базисные векторы.

Длина вектора.

Где применяются векторы на практике

Литература.

Введение

Поводом для выбора темы «Вектор», послужили две причины. Во-первых, это статья, на которую я натолкнулась случайно. В ней было обосновано: « Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет

известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие…». И этим она меня заинтересовала. Второй причиной послужило то, что в школе на уроках геометрий мне нравилось изучать тему «векторы».

Из истории векторов.

Под векторной величиной или вектором (в широком смысле слова) понимают величину, обладающую направлением, как, например, сила, скорость, ускорение и т.п.

Величину, не имеющую направления, называют скалярной или скаляром.

Интерес к векторам и векторному исчислению пробудился у математиков XIX в. в связи с потребностями механики и физики.

Однако истоки исчисления с направленными отрезками возникли в далеком прошлом. В Древней Греции пифагорейцы, открыв иррациональные числа, которые нельзя выразить дробями (например: , и др.), не решились ввести более широкое толкование числа. Математика того времени попытались свести вопросы арифметики и алгебры к решению задач геометрическим путем. Таким образом, было положено начало геометрической теории отношений Евдокса (408-355 гг. до н. э.), а позднее « геометрической алгебре». В геометрическом исчислении, изложенном в труде Евклида «Начала», сложение и вычитание сводилось к сложению и вычитанию отрезков, а умножение – к построению прямоугольников на отрезках, соответствующих по длине множителям.

Впоследствии в XVI – XVII вв. геометрическая алгебра из-за ограниченности своих средств исследования стала тормозом развития науки.

Однако геометрические исчисления сыграли значительную роль в развитии математики, в том числе и для теории векторов, послужив истоком развития этой теории.

В 1587 г. был опубликован на голландском языке трактат фламандского ученого С. Стевина «Начала статики». В нем автор, рассматривая сложение сил, приходит к выходу, что для нахождения результата сложения двух сил, действующих под углом , необходимо воспользоваться «параллелограммом сил», при этом для обозначения сил С. Стевин ввел стрелки. Иначе говоря, С. Стевин впервые ввел сложение двух векторов, перпендикулярных друг другу.

Значительно позже французский математик Луи Пуансо (1777 – 1859) в книге «Элементы статики», вышедшей в 1803 г., разрабатывает теорию векторов, которой пользуется при рассмотрении сил, действующих в различных направлениях.

Термин «вектор» происходит от латинского слова vector, что означает несущий или ведущий, влекущий, переносящий.

Продолжительное время вектор рассматривался только как направленный отрезок, один из концов которого называли началом, а второй – его концом. С разработкой теории преобразований вектор стали рассматривать не только как направленный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный отрезок, но и как параллельный перенос, заданный парой точек – точкой О и не образом O’.

В современной математике раздел, в котором излагается учение о действиях с векторами, называют векторной алгеброй, так как эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями.

Основные понятия.

Пусть А и В – две различные точки плоскости. Отрезок АВ, у которого точку А считают началом, а точку В – концом, называют вектором АВ и обозначают. О векторе говорят также, что он приложен к точке А. Направление, определяемое лучом АВ, называют направлением вектора , а длина отрезка АВ называется длиной (или модулем) вектора . Модуль вектора обозначается . На чертежах вектор обычно изображают прямолинейной стрелкой с началом в точке А и концом в точке В (рис. 1)

Среди всех векторов с началом в точке А

имеется один вектор, длина которого

В равна нулю. Считается, что этот вектор

начинается и кончается в точке А.

Вектор, начинающийся и кончающийся в

А точке А, называется нулевым вектором и

Рис. 1 обозначается . Понятие направления для нулевого вектора не вводится.

Определение пространственного вектора дословно совпадает с определением вектора на плоскости, при этом лишь считают, что точки А и В – две точки пространства.

Равенство векторов. Пусть и - два вектора плоскости (или пространства). Говорят, что вектор равен вектору , и пишут =, если:

длина отрезка АВ равна длине отрезка СD;
лучи АВ и СD одинаково направления.

При таком определении равенства векторов множество всех векторов, равных вектору , называют свободным вектором. Свободные векторы обычно обозначают малыми латинскими буквами: a, b, c, x, а их длины – соответственно

Нулевой вектор обычно обозначают 0.

Каждый ненулевой свободный вектор а имеет бесконечно много изображений в виде направленных отрезков, отложенных от разных точек плоскости (пространства) , , …, , … так, что длины отрезков , , …, , …, равны длине вектора а, а лучи , , …, , … сонаправлены, и их направление совпадает с направлением вектора а (рис. 2). Нулевой свободный вектор 0 также имеет бесконечно много изображений в виде точек плоскости.

Свободный вектор обычно называют просто вектором.

Множество равных между собой векторов, принадлежащих

одной прямой, называется скользящим вектором.

Наряду со свободными и скользящими

векторами рассматриваются

связанные векторы, которые

характеризуются модулем,

направлением и положением

начальной точки,

называемой точкой приложения.

Два связанных вектора

считаются равными, если

они имеют не только равные

модули и одинаковые Рис. 2

направления, но и общую

начальную точку, т. е. равные связанные векторы – это совпадающие векторы.

Вектор на плоскости может быть введен с использованием понятия изометрии или, точнее говоря, частного случая изометрии – понятия параллельного переноса.

Изометрией называется отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками.

Параллельным переносом называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

В этих терминах вектором (параллельным переносом), определяемым упорядоченной парой несовпадающих точек (А; В), называется преобразование плоскости, при котором каждая точка М плоскости отображается на такую точку этой плоскости, что луч сонаправлены с лучом АВ и расстояние равно расстоянию .

Любая пара совпадающих точек задает тождественное преобразование (т. е. преобразование, которое любую точку плоскости отображает на себя). Тождественное преобразование называют нулевым вектором и обозначают символом .

Сложение векторов. Пусть и – два ненулевых вектора. Отложим вектор от точки О и обозначим его конец буквой А (рис. 3): = . Отложим от точки А вектор и обозначим его конец буквой В: = . Вектор с началом в точке О и концом в точке В (=) называют суммой вектора и и пишут

О векторе c говорят, что он получен в результате сложения векторов и .

А b B C D

c = a + b. a

O A B

Рис. 3 Рис.4

Свойства операции сложения векторов:

1) свойство нулевого вектора:

;

2) ассоциативность:

;

3) коммутативность:

Сумма двух неколлинеарных векторов и можно построить по правилу, называемому правилом параллелограмма. Отложим от

точки А векторы = и = (рис. 4). Через конец вектора проведем прямую, параллельную вектору , а через конец вектора – прямую, параллельную вектору . Пусть С – точка пересечения построенных прямых. Вектор = – сумма вектора и :

Вектором, противоположным вектору , называют вектор, обозначаемый –, такой, что сумма векторов и – равна нулевому вектору:

Вектор, противоположный вектор , обозначается также :

+ = = 0.

Ненулевые противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления.

Разность двух векторов есть сумма вектора и вектора, противоположного вектору (рис. 5), т.е. вектор

Разность вектора и обозначают .

Разность двух векторов и может

быть получена с помощью правила

b треугольника. Отложим от точки А вектор

(рис. 6): = ; от конца вектора -

а отложим вектор = - ; вектор

а – b = с – разность векторов и :

Рис.5

-b с = а – b

В а А

Рис. 6

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называют вектор, имеющий направление вектора , если положительно, и противоположное направление, если отрицательно; длина этого вектора равна произведению длины вектора а на число обозначается через .

В случае, если = 0 или = 0, соответственно считают для любого , для любого .

Свойства операции умножения вектора на число:

коммутативность:

ассоциативность:

дистрибутивность относительно сложения векторов:

дистрибутивность относительно сложения чисел:

Два нулевых вектора называют коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны.

Нулевой вектор по определению считается коллинеарным любому вектору.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности

ненулевых векторов и является существование числа ,

удовлетворяющего равенству = .

Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и на плоскости, заданных своими координатами относительно прямоугольной декартовой системы координат Оху:

а , b ,

является равенство нулю определителя второго порядка:

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов a и b в пространстве, заданных своими координатами относительно прямоугольной декартовой системы координат Оxyz:

а , b ,

являются равенство нулю всех следующих определителей второго порядка:

Три ненулевых вектора называют компланарными, если лучи, задающее их направления, принадлежат прямым, параллельным некоторой плоскости. Если среди трех векторов имеется хотя бы один нулевой, то такие векторы также считаются компланарными.

Необходимым и достаточным условием компланарности трех вектора , заданных своими координатами в прямоугольной декартовой системе координат Оxyz:

а, b,

является равенство нулю определителя третьего порядка:

Если векторы и не коллинеарны, то любой вектор c, компланарный с векторами и , можно представить единственным образом в виде

, (1)

т. е. существует единственная упорядоченная пара чисел (x;y), для которой выполняется равенство (1).

Представление вектора c, компланарного с векторами и , в виде суммы называется разложением вектора c по векторам и . Правило параллепипеда.

S Для нахождения вектора,

С являющегося суммой трех

некомпланарных векторов ,

с часто используют правило,

А называемое правилом

параллелепипеда.

а В От произвольной точки пространства

О b О откладывают векторы ,

Рис.7 и. Строят

параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ,ОС были его ребрами (рис.7). Вектор , где OS – диагональ параллелепипеда, - сумма трех данных векторов:

Разложения вектора по трем некомпланарным векторам. Пусть - три некомпланарных ненулевых вектора. Тогда любой пространственный вектор единственным образом может быть представлен в виде суммы:

(2)

т. е. существует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y; z), для которой выполняется равенство (2).

Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между двумя векторами и часто обозначается (a^b).

Если угол между векторами и равен , то эти векторы называют перпендикулярными и пишут .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и , обозначаемым (a b) (или ), называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

где = (a^b). Если хотя бы один из двух векторов a и b нулевой, то скалярное произведение этих двух векторов считается равным нулю. O скалярном произведении (a,b) говорят, что оно получено в результате скалярного умножения вектора на вектор .

Свойства скалярного умножения векторов:

коммутативность:

ассоциативность относительно умножения на число:

Операции сложения и скалярного умножения векторов связаны дистрибутивным законом умножения относительно сложения:

Необходимым в достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Скалярное произведение вектора на тот же вектор равно квадрату числового значения его длины. Произведение называется скалярным квадратом вектора а и обозначается .

Координаты вектора на плоскости. Пусть Оху прямоугольная декартова система координат с базисными векторами ( i; j). Любой вектор а, принадлежащий плоскости, может быть разложен по векторам базиса i, j т. е. для любого вектора а существует, и притом только одна, упорядоченная пара чисел такая, что

Числа называют координатами вектора a в базисе (i; j) и пишут

a =

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координатами вектора будет упорядоченная пара чисел , т. е.

Правила действий над векторами, заданными координатами. Пусть в базисе (i; j) векторы и заданы своими координатами:

, .

Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых:

+ =.

Координаты разности двух векторов равны разности соответствующих координат этих векторов:

– =.

Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат данного вектора на это число:

= .

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

(

) = .

Модуль вектора а, заданного своими координатами , вычисляется по формуле

Угол между двумя ненулевыми векторами и , заданными своими координатами и соответственно, вычисляется из равенства

Косинусы углов между вектором a = и векторами базиса i, j называются направляющими косинусами вектора а и вычисляются по формулам

, .

Направляющие косинусы любого вектора a связаны равенством

Векторное произведение. Векторным произведением двух векторов и , обозначаемым (или ), называется вектор, определяемый следующими тремя условиями:

модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;
вектор перпендикулярен как вектору, так и вектору ;
упорядоченная тройка векторов (a; b; ), отложенных от одной точки, образует правый (в общем случае косоугольный) базис (рис. 8).