Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Вибрані питання теорії чисел

Реферат на тему

План:

Предмет теорії чисел.
Числова містика і початок науки.
Прості числа Ферма та їх зв'язок з геометрією.
Велика теорема Ферма.
Великий шлях (системи числення).
Степінь числа.
Системи числення і системні числа з математичної точки зору.

Майже детективна історія

Системи числення "під мікроскопом"
Приклади

Подільність цілих чисел.

Властивості подільності суми, різниці, добутку натуральних чисел
Приклади

Ділення чисел з остачею.

Приклади

Предмет теорії чисел

Теорія чисел належить до найбільш стародавніх теоретичних розділів математики. У класичному розумінні — це вивчення властивостей натуральних (цілих додатних) чисел.

Теорію чисел іноді називають і вищою арифметикою; вона виникла із задач арифметики, пов'язаних з множенням і діленням.

Важко назвати такий розділ математики, який не був би зв'язаний з поняттям натурального числа, що є одним з основних понять усієї математики.

Незважаючи на стародавність теорії чисел і видатні, успіхи, яких досягнуто цій галузі математики, починаючи з середини XVIII століття до цього часу, все ж доводиться вважати, що вона перебуває лише на початку свого розвитку. Багато основних питань в процесі розпитку теорії чисел, незважаючи на елементарність їх постановки, виявились настільки складними, що їх не могли розв'язати протягом ряду століть не тільки засобами самої теорії чисел, але й залученням найдосконаліших засобів інших розділів математики.

Розвиток теорії чисел має величезне значення для багатьох розділів математики. Теорія чисел в сучасному розумінні вивчає не тільки властивості цілих раціональних чисел, але й властивості чисел дійсних або комплексних, причому, для доведення своїх тверджень вона вживає аналітичні засоби, які належать іншим галузям математики, наприклад, математичному аналізу, теорії функцій комплексної змінної, алгебрі тощо. Крім того, в багатьох питаннях теорії чисел велике значення мають геометричні міркування. Використовуючи при розв'язуванні своїх задач різні маиематичні дисципліни, теорія чисел відіграє велику роль у розвитку і вдосконаленні цих дисциплін.

Числова містика і початок науки

Виникнення науки про числа пов'язують з легендарним Піфагором, який жив на межі УІ-У ст. до н. е. 3 тих часів цю науку називають арифметикою (від грецького слова "арифмос", що означає "число").

Піфагор народився на острові Самос, що в Егейському морі, тому його називають ще Піфагором Самоським. У молоді роки Піфагор за поширеним тогочасним звичаєм для вихідців із заможних родин, здійснив декілька тривалих подорожей у східні країни з метою набуття мудрості. Зокрема, він відвідав Єгипет і Вавилон. Ритор Ісократ повідомляє, що під час подорожі в Єгипет Піфагора полонили воїни перського царя Камбіза і мали вже продати в рабство, але сам Камбіз, подивований його ученістю, подарував Піфагору волю. Після повернення на батьківщину Піфагор став одним з тих учених, завдячуючи яким математичні знання з Єгипту і Вавилону перейшли до Греції.

Одна з легенд про Піфагора повідомляє, що, проходячи одного разу повз кузню, Піфагор звернув увагу на гармонійне співзвуччя трьох молотів, якими одночасно вдаряли по ковадлу. Зваживши ці молоти, Піфагор отримав відношення 3:4:6. Пізніше він отримав такі ж відношення для довжин трьох струн, які дають благозвучні акорди.

Легко перевірити, що для цих чисел виконується рівність .

У зв'язку з цим число с, яке задовольняє рівність

почали називати середнім гармонічним чисел a і b.

Легко перевірити, що якщо число с є середнім гармонічним чисел а і b то число є середнім арифметичним чисел i , тобто .

3 подібних спостережень Піфагор, нібито, й зробив висновок, що все у природі узгоджується з числами, отже, в кінцевому підсумку, — породжується числами. "Все є число" — крилата фраза Піфагора, яка з тих часів ось уже 2,5 тисячі років надихає природодослідників на пошуки все нових і нових законів гармонії світу.

Оскільки все у природі, за уявленнями піфагорійців, породжується числами, то для пізнання природи потрібно пізнавати ці числа. Особливо приваблювали піфагорійців усілякі числові диковинки, бо саме в них вони вбачали найбільший прояв божественної сили. А інколи мовою чисел моделювали і найбуденніші речі. Наприклад, парні числа називались у піфагорійців жіночими, а непарні — чоловічими. Першим жіночим числом є 2, а першим чоловічим 3. їхня сума 2 + 3 = 5 вважалася символом подружніх уз. Великою шаною користувалося число 10, яке називали неперевершеною тетрадою. Крім того, що це число є основою системи числення, воно також дорівнює сумі перших чотирьох натуральних чисел 1+2 + 3 + 4 (звідси і назва "тетрада" — від грець. "тетра" — тобто "чотири"). Перше з цих чисел 1, або монада — символ творіння, бо кожне число складається з монад. Числа 2 і 3 — символи жіночого і чоловічого. Ці символи в піфагорійській філософії відігравали всеохоплюючу роль як два різноіменні полюси природи, на взаємодії яких тримається світ. Нарешті, число 4 було символом чотирьох основних складників природи (так званих стихій) — землі, води, повітря і вогню. Піфагорійська клятва виголошувалася від імені того, "хто вклав в нашу душу тетроду — джерело і корінь вічної природи".

Числа, які дорівнюють сумі усіх своїх власних дільників (тобто усіх дільників, за винятком самого числа), називалися досконалими. Досконалими, зокрема, є числа 6=1+2 + 3 і 28 =1+2 + 4 + 7+14. На шостому місці під час званого бенкету садовили найшанованішого гостя. На початку XX ст. в Римі археологи розкопали будівлю неопіфагорійської академії, яка мала форму круга (велика зала), по периметру якого розташовувалось 28 келій-кабінетів.

Дружбу у піфагорійців символізували пари так званих дружніх чисел, кожне з яких дорівнювало сумі усіх власних дільників іншого. Такими є числа 284 і 220: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142; 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + +10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110. Збереглися середньовічні рецепти для виготовлення на цій основі талісмана дружби, а мавританський учений X ст. Аль-Маджріті залишив навіть рецепт того, як досягти взаємності в коханні. Виявляється, для цього достатньо записати на чому-небудь дружні числа 220 і 284, а потім шматок з більшим числом з'їсти самому, а з меншим дати об'єкту своєї пристрасті.

Звичайно, якщо були хороші числа, то мали бути й погані. Погано, якщо число не має явно виражених цікавих властивостей. Але ще гірше, якщо в натуральному ряді його оточують числа з такими особливими властивостями. Ось що, наприклад, повідомляє історик Плутарх про число 17: "Піфагорійці не люблять числа 17, тому що 17 знаходиться якраз посередині між числом 16, яке є повним квадратом, і числом 18, яке є подвоєним квадратом; обидва ці числа — єдині, для яких периметр прямокутника з даними розмірами дорівнює його площі". Йдеться, очевидно, про те, що якщо добуток двох натуральних чисел дорівнює їхній подвоєній сумі, то це тільки або пара чисел 3 і 6, або пара чисел 4 і 4.

Прості числа Ферма та їх зв'язок з геометрією

Якось П'єр Ферма помітив, що прості числа 3, 5, 17, 257, 65537 можна задати формулою:

Рп=2г+1 (***) при п'яти послідовних значеннях п, що дорівнюють відповідно 0, 1, 2 ,3, 4. А саме:

З'явилася величезна зваба "вивести" звідси, що усі числа Fп при натуральних п є простими. Ферма піддався цій спокусі і... помилився. Ейлер, перевіряючи формулу Ферма (***), встановив, що вже наступне, шосте число Ферма (так називають тепер числа )

тобто є складеним. Більше того, від Ейлера і до сьогодні нікому не вдалося знайти жодного нового простого числа Ферма, навіть за допомогою найпотужніших сучасних комп'ютерів.

Цікавий початок історії цих пошуків. У 1727 р. швейцарець Леонард Ейлер прибуває до Санкт-Петербурга для роботи в Петербурзькій Академії наук. Там уже працював талановитий німецький дослідник в галузі теорії чисел Христіан Гольдбах (1690- 1764). Через деякий час, щоправда, Гольдбах переїжджає до Москви на дипломатичну службу (у ті часи дипломатами часто були учені), але продовжує активно листуватися з Ейлером. В одному з листів (від 1 грудня 1729 р.) Гольдбах запитує Ейлера: "Чи відомі Вам зауваження Ферма про те, що всі числа вигляду 22 +1 є простими? Він каже, що не може довести цей факт, і, наскільки я знаю, ніхто не може цього зробити".

Спочатку Ейлер знайшов вказану вище помилку Ферма для числа Р5, а згодом по-справжньому поринув у дослідження світу натуральних чисел і досяг у цьому феноменальних результатів. Про окремі з цих результатів згадувалося вище.

Історія з числами Ферма, найімовірніше, завершилася б на розкладі Ейлером числа і слугувала б хіба що яскравим прикладом для учнів, який показує, що в математиці неприпустиме "доведення" лише на основі окремих спостережень. Але ці числа дивовижним чином відродилися в зовсім іншій області математики — в геометрії.

Ще піфагорійці (знову піфагорійці!) важливого значення надавали побудові так званих правильних многокутників. Многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні, а через усі вершини можна провести одне коло (це коло називається описаним навколо многокутника, а сам многокутник — вписаним у дане коло). Побудови ж передбачалося виконувати за допомогою циркуля і лінійки (причому на лінійці не наносилося ніяких поділок; це обмеження виправдовувалося, до певної міри, відсутністю у давнину єдиної системи мір).

Найпростіше побудувати правильний шестикутник і правильний трикутник. Якщо від деякої точки А на колі розхилом циркуля, що дорівнює радіусу, зробити на колі послідовно п'ять засічок В, С, Д Е, Р, то вони разом з точкою А і будуть вершинами правильного шестикутника АВСОЕР. Якщо ж сполучити відрізками не всі сусідні засічки, а лише взяті через одну, то отримаємо правильний трикутник, наприклад, АСЕ.

Для побудови правильного чотирикутника, який найчастіше називають квадратом, досить побудувати два будь-які взаємно перпендикулярні діаметри кола i BD. Тоді кінці цих діаметрів А,В,С, D) будуть вершинами квадрата. Один із діаметрів АС можна провести як завгодно. Для побудови іншого проводять два допоміжні кола (можна обмежитись тільки дугами цих кіл) з центрами у точках А, С, радіуси яких перевищують радіус даного кола. Тоді діаметр кола, який проходить через точки Е, F перетину побудованих кіл, — шуканий, а чотирикутник АВСD — квадрат.

Трохи складніше побудувати правильний п'ятикутник. Піфагорійці також вміли це робити. Правильний п'ятикутник був навіть емблемою їхнього братства. Наступним мав стати правильний семикутник. Але саме на ньому "спіткнулися", і не тільки піфагорійці. Ніхто, скільки не старався, аж до Ґаусса (а це більше 2500 років!), побудувати правильний семикутник не зміг. Ґаусс же відкрив, що ніхто й не міг цього зробити, бо таку задачу за допомогою циркуля і лінійки розв'язати просто не можна.

Ґаусс дослідив загальну проблему: для яких п можна побудувати правильний n-кутник за допомогою циркуля і лінійки? Неважко було зрозуміти, що дослідження потребували лише випадки з непарними п. Адже 2n-кутник (з парною кількістю сторін) просто одержати з побудованого вже n-кутника діленням навпіл кожної з дуг, що стягує його сторони. А ця побудова дуже просто виконується за допомогою циркуля і лінійки. З'ясувалося, що правильний n-кутник з непарною кількістю сторін можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки тоді і лише тоді, коли число п є простим числом Ферма або добутком декількох різних простих чисел Ферма (Теорема Ґаусса). Число п - 1 цій характеристиці не відповідає, тому правильний семикутник за допомогою циркуля і лінійки побудувати не можна.

На противагу цьому, наприклад, правильний 17-кутник побудувати можна, бо 17 є числом Ферма Р2 . I Ґаусс вказує навіть конкретний спосіб таких побудов.

Велика теорема Ферма

Поряд з "плоскими" фігурними числами піфагорійці розглядали й "об'ємні", зокрема, кубічні числа, тобто числа 1, 8, 27,..., n3:

Але чи ставили вони для кубічних чисел проблему, аналогічну проблемі представлення квадратних чисел у вигляді суми двох інших квадратних чисел (еквівалентну, як ми бачили, пошуку піфагорових трійок чисел), невідомо. Йдеться про пошук трійок натуральних чисел а, b, с, для яких .

Немає, однак, сумніву, що ця природна аналогія стала одним з основних джерел, які у XVII ст. привели Ферма до його знаменитої Великої теореми. Втім, про це варто поговорити докладніше.

П'єр Ферма (1601 - 1665) — один із найвидатніших математиків усіх епох, що стояв біля витоків чотирьох фундаментальних напрямків новітньої математики — теорії чисел, аналітичної геометрії, диференціалного та інтегрального числення, а також теорії ймовірностей. За освітою і професією — юрист. Займав високі адміністративні посади в Тулузі, а математиці віддавав увесь вільний час. За життя не опублікував жодної математичної праці. Більшість його відкритгів стали відомими з листів до видатних учених епохи — Мерсенна, Паскаля, Декарта, Валліса.

Значно вплинула на Ферма "Арифметика" Діофанта. У 1621 році французький поет і математик-аматор Гаспар Клод Баше де Мезиріак (1581-1638) видав свій грунтовний переклад цієї праці з грецької на латину (свої власні результати і зауваження Ферма коротко записував прямо на полях цієї книги). У 1670 р. Діофантова "Арифметика" разом з усіма зауваженнями була перевидана старшим сином Ферма Самюелем. Цим виданням розпочалася одна з найвідоміших інтриг в історії математики.

У другому розділі "Арифметики" Діофанта під № 8 розв'язується задача: "Подати квадрат даного натурального числа а у вигляді суми квадратів інших натуральних чисел". Отже, мова йде про пошук піфагорових трійок чисел (х; у; а), для яких

а2 = х2 + у2.І ось навпроти цієї задачі на полях книги Ферма робить помітку, яка більше 350 років не давала спокою як видатним математикам, так і численним шанувальникам цієї науки: "Але, на противагу цьому, не можна розкласти ні куб на два куби, ні четвертий степінь на два четверті, ні взагалі жоден інший степінь, більший квадрата, на два однойменні степені. Я знайшов для цього воістину чудесне доведення, але ці поля надто вузькі для того, щоб його можна було тут подати".

Твердження, про яке говорить Ферма, пізніше отримало назву Великої теореми Ферма. Ця теорема стверджує, що рівняння з трьома невідомими при жодному п > 2 не має розв'язків у натуральних числах. Тобто: при жодному натуральному п > 2 не існує жодного набору натуральних чисел х, у, z, для яких справджується записана рівність.

Сам Ферма в одному з листів виклав-таки доведення своєї теореми для показника п = 4. Як потім з'ясувалося, для цього випадку теорема доводиться найпростіше. Для п = 5 теорему довів Ейлер. Пізніше було одержано доведення для багатьох, навіть сотень і тисяч, значень п. Проте для загального випадку теорема залишалася недоведеною аж до кінця XX століття (на початок 90-х років XX ст. доведення Великої теореми Ферма було одержано для всіх п < 4 000 000).

Увага до Великої теореми Ферма значно зросла після того, як у 1908 р. було оприлюднено заповіт німецького лікаря-офтальмолога Пауля Вольфскеля (1856 - 1906). Цим заповітом засновувалася премія в розмірі 100 000 німецьких марок за доведення теореми Ферма. Згідно з положенням про премію, доведення мало бути обов'язково опубліковане, схвалене Королівським науковим товариством, а після публікації мало минути не менше двох років.

Сам Вольфскель також тривалий час, щоправда безрезультатно, займався доведенням Великої теореми Ферма. Захопився він цією проблемою на лекціях сімдесятирічного берлінського професора Ернста Куммера (1810 - 1893). Куммеру вдалося довести теорему Ферма для всіх п < 100. За це досягнення йому було присуджено премію Паризької Академії наук.

У червні 1993 року весь світ облетіла сенсаційна звістка: легендарну Велику теорему Ферма доведено! Автор доведення - на той час сорокарічний математик з Принстонського університету (США) Ендрю Вайлс за декілька днів став таким же популярним, як найвідоміші політики та естрадні і кінозірки.

Невдовзі, правда, з'ясувалося, що Вайлс трохи поспішив із повідомленням і не продумав до кінця окремих деталей свого доведення. Але через рік теорему таки було доведено повністю. Це сталося у 1994 році.

Тепер перенесімося на декілька років уперед —у 1998 рік. В Берліні проходить Міжнародний конгрес математиків (такі конгреси проводяться раз у 4 роки). Величезна аудиторія Берлінського технічного університету заповнена вщерть. Присутні понад 2000 найвидатніших математиків з усієї планети. Через телевізійну мережу ведеться трансляція в інші аудиторії, в яких зібралися ті, кого не зміг вмістити зал засідань конгресу. Професор Ендрю Вайлс читає годинну лекцію "20 років теорії чисел". Лекція завершується доведенням Великої теореми Ферма. Весь зал встає і понад 15 хвилин безперервно аплодує доповідачеві. Це — перемога усього планетарного розуму.

Великий шлях (системи числення)

І сказав Господь Мойсею в Синайській пустелі

в скинії зібрання, у перший день другого місяця,

на другий рік після виходу їх

із землі Єгипетської, промовляючи:

— Перелічіть усю громаду синів Ізраїлевих

за родами їхніми, за їхніми сімействами,

за числом імен...

Четверта книга Мойсеєва "Числа"

У книжці відомого дитячого письменника Корнія Чуковського "Від двох до п’яти" є дуже повчальна історія про дворічну Іринку, яка вміла рахувати лише до двох і тому змушена була вдаватися до усіляких хитрощів, аби тільки замаскувати цей прикрий для її самолюбства факт.

"Батько дає їй ложку і запитує:

Скільки у тебе ложок?
— Одна.

Дає другу:

— Тепер скільки?

— Дві.

Дає третю:

Тепер скільки?
Багато.
Ні, ти скажи.

Іринка з напускним виглядом огиди відсуває від себе третю ложку:

Візьми, вона брудна!"

Але пройшло ще кілька років і ось ми бачимо в своїй уяві вже п'ятирічну Іринку, яка піднімається східцями на гірку. Східців багато, і Іринка рахує: один, два, три, чотири, п'ять,... десять, одинадцять,... дев'ятнадцять, двадцять.

— Ху, стомилася. Двадцять один, двадцять два, ..., двадцять
дев'ять, двадцять десять, двадцять одинадцять, двадцять дванад-
цять, ..., двадцять дев'ятнадцять, двадцять двадцять.

— Ой, — забідкалась дівчинка. — Щось я, здається, заплуталася. Двадцять двадцять не буває. Скажеш ще — двадцять двадцять один або двадцять двадцять двадцять? Ні, треба запитати маму.

А й справді, двадцять двадцять двадцять не буває. А ось рівнозначне йому три двадцять буває. Саме так перекладається українською мовою англійське three score, яким у певних випадках передається число 60. Серед багатьох значень слова sсоrе в англійській мові (мітка, зарубка, рахунок очок у грі, рахунок у ресторані, успіх, щастя) є і значення числа 20. Зокрема, саме за допомогою цього слова прийнято передавати вік людини: three score—60 років, fore score (чотири по двадцять) — 80 років, tree score and ten (три по двадцять і десять) — 70 років.

Отже, помилившись у загальноприйнятій тепер в українській мові усній лічбі, Іринка водночас почала створювати власну систему усної нумерації, логічно рівноцінну традиційній. Усна нумерація в українській мові строго узгоджена із загальноприйнятою тепер десятковою системою числення. В основі цієї системи лежить, як відомо, лічба десятками. Усна ж лічба в англійській і французькій мовах зберігає сліди прадавнього вжитку у цих народів двадцяткової система числення, або лічби двадцятками. Починаючи із "двадцяти десяти" Іринка рахувала вже у двадцятковій системі числення.

Двадцяткова система числення в різні часи була в ужитку і в інших народів. Зокрема, вона використовувалася корінними народами доколумбової Центральної Америки — майя і ацтеками. Такою системою користувалися і чукчі з далекого Чукотського півострова на крайньому північному сході Росії'. Ось цікавий епізод із нарису Т. Сьомушкіна "На Чукотці", який свідчить про поширений у чукчів спосіб лічби п'ятірками.

" Проїжджаючи одного разу мимо стійбища, я побачив на схилі табун оленів. Я нарахував 128 оленів. Коли запитав хазяїна, скільки у нього оленів, він відповів:

-Ми не рахували. Але якщо хоча б один олень пропаде з табуна, очі мої розпізнають одразу.

-А чи можеш ти порахувати?

-Якщо тобі треба, порахую. Тільки рахуватиму довго. Ти іди поки що в ярангу (житло чукчів), а я принесу тобі рахунок.

В яранзі ми встигли напитися чаю, закусити, перебалакати з господарем про все, а десь години через дві прийшов наш "Обліковець". Він назвав число — 128. Старий хазяїн вельми здивувався такій кількості оленів.

Напевно, ти помилився. Так багато оленів ніколи в нас не було.
Старий вирішив перевірити... Для цього він роззувся і через три години повідомив, що підрахунок проведено правильно (він пам'ятав кожного оленя). Для підрахунку не вистачило своєї сім'ї з п'яти чоловік, і довелося запросити ще двох чоловік із сусідньої яранги". У шести чоловік на руках і ногах всього 120 пальців, тому для утворення числа 128 потрібна була сьома людина”.

Сліди п'ятіркової системи числення збереглися і в уживаній тепер римській письмовій нумерації. Про це свідчить наявність у цій нумерації індивідуальних знаків для чисел 5, 50, 500 — відповідно V, L, D). Вже навіть сама форма знака V нагадує кисть руки з витягнутими пальцями. А знак X для числа 10 у цій системі нагадує і об'єднання двох перехрещених рук, і просте об'єднання двох менших знаків для числа V. У багатьох народів помітні сліди використання дванадцяткової системи числення. Про це свідчить, зокрема, і досі поширена лічба деяких предметів дюжинами (тобто по 12). Так, наприклад, по 12 штук комплектують олівці і фломастери, кухонні сервізи (на 12
персон), стільці. Використовуються також і великі дюжини,
або ґроси (gross — великий). Ґрос налічує 12 по 12, тобто 144 предмети. Цікаво, що наступне за дюжиною число 13 багатьма вважається тепер нещасливим, тому його інколи називають "чортовою дюжиною". Зрештою, це — суто західний забобон. У наших предків-слов'ян його не було. Зокрема, знаменитий собор Софія Київська, збудований за часів Ярослава Мудрого, — тринадцятиглавий, тобто має 13 куполів.

Проте найдавнішою з усіх була, мабуть, лічба парами, тобто по 2. Дуже ймовірно, зокрема, що саме такою двійковою системою числення на початках користувалися давні єгиптяни. Принаймні, про це свідчать винайдені ними способи множення та ділення чисел, що ґрунтуються на послідовному подвоєнні одного з множників та дільника і тому не потребують таблиці множення (будуть описані далі).

Про практику лічби парами в Давній Русі свідчить те, що у старослов'янській мові поряд з одниною і множиною для відмінювання іменників існувала ще й особлива форма двоїни.

Хто б у ті далекі часи міг подумати, що ця найпримітивніша система числення колись стане "робочою" системою майбутнього дива — комп'ютера!

Найбільшою ж системою числення з тих, що були у широкому практичному вжитку, виявилася шістдесяткова система давніх вавилонян. Сліди цієї системи, основою якої є лічба групами по 60 одиниць, збереглася у сучасному поділі години на 60 хвилин, а хвилини — на 60 секунд. Так само діляться на менші частини одиниці вимірювання кутів: градус — на 60 мінут, а мінута — на 60 секунд (у перекладі з латинської мінута означає "маленька частина", а секунда — "друга" (мається на увазі "друга за величиною маленька частина")). Такі точні вимірювання кутів потрібні, наприклад, в астрономії. Ще не так давно в широкому ужитку були назви "копа" і "півкопа" для позначення чисел 60 і 30 при підрахунку деяких предметів, зокрема курячих яєць та снопів необмолоченого зерна.

Щодо походження шістдесяткової системи числення дуже

вірогідною є гіпотеза, запропонована у 30-х роках XX ст. австрійським математиком та істориком науки Отто Нейгебауєром. Згідно з цією гіпотезою, в обох давніх народів, що проживали на території Вавилонії,— шумерійців і аккадців — як і в більшості інших народів, початково вживалася десяткова система числення. Але торгові і господарські стосунки між ними вимагали встановлення чітких правил грошових розрахунків. Роль грошей відігравали відповідні мірки срібла. Шоста частина шумерської міни врівноважувалася десятьма аркадськими шекелями. Це означало, що 1 міна мала дорівнювати 60 шекелям (як у

нас 1 гривня дорівнює 100 копійкам). Така шістдесяткова іменована нумерація з часом вийшла за межі свого первісного застосування і, згідно з цією гіпотезою, стала основою для усієї системи числення.

Степінь числа

Як відомо, додавання кількох однакових доданків можна замінити дією множення. Наприклад, 14 + 14 + 14 = 14 • 3. У свою чергу множення кількох однакових співмножників можна замінити дією, яка називається піднесенням до степеня. Наприклад, добуток 14 • 14 • 14 записують коротше: . Запис 143 читається "чотирнадцять у третьому степені". Вираз 143 називається степенем, число 3 — показником степеня, а число 14 — основою степеня.

Отже, добуток кількох однакових співмножників називається степенем.

Вважається, що для будь-якого натурального п число n1 співпадає з самим числом п: n1 = п. Взагалі, яке б не було дійсне число а і натуральні числа т і п, завжди , .

Системи числення і системні числа з математичної точки зору

Майже детективна історія

Один знайомий математик-програміст на прохання свого шефа подати для особової справи автобіографію написав таке:

"Я народився 33 числа 20 місяця 30401 року. 11-річним хлопчиком пішов у перший клас, а через 13 років продовжив навчання в 14 класі Українського фізико-математичного ліцею Київського університету. Ліцей закінчив через 3 роки з оцінкою "22" з усіх профілюючих предметів. Після закінчення ліцею 32-річним юнаком вступив на механіко-математичний факультет Київського університету. Після 10-річного навчання в університеті, у віці 42 років, мене, як перспективного молодого спеціаліста, запросили працювати на фірму. Зважаючи на добрий гумор і компетенцію її шефа, гарне комп'ютерне обладнання і пристойну зарплатню, я погодився. Пройшло вже два роки, як я працюю на цій фірмі.

32.13.31002 р. Код 5."

Якби навіть не було підказки "Код 5" у кінці цієї дивної автобіографії, шеф, звичайно, і так відразу здогадався б, що його підлеглий вирішив трохи похизуватися своєю обізнаністю в галузі математики. Здогадалися, мабуть, що всі числа, які є у цій автобіографії, подано у п'ятірковій системі числення. I справді, розставте замість записаних у тому ж порядку числа 18, 10, 1976, 6, 8, 9, 3, 12, 17, 5, 22, виправте дату у кінці на 17.08.2002 р. — і "все стане на свої місця".

Системи числення "під мікроскопом"

Будь-яке натуральне число можна розкласти на прості одиниці, десятки, сотні, тисячі, десятки тисяч і т. д., причому одиниць кожного такого розряду менше десяти, а їх кількість (або відсутність) позначається цифрами 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Наприклад, записи 834,9571,361042 означають числа:

834 = 4 + 3-10 + 8- 100;

9571 = 1+7- 10 + 5-100 + 9- 1000;

361042 = 2 + 4 -10 + 0 - 100+1 • 1000 + 6 - 10000 + 3 - 100000.

3 використанням поняття степеня числа ці записи можна спростити, так би мовити "уніфікувати", або "стандартизувати":

Запис, наприклад, семизначного натурального числа у формі

означає:

(лінія над літерами тут вказує на те, що символами a, b, c, p, q, r, s позначено саме цифри числа, тобто, що їх значення не перемножуються; у цьому позначенні явно відчувається відлуння давньогрецької і давньоруської алфавітних систем нумерації).

Взявши до уваги такі очевидні речі, відомий французький математик, фізик, філософ і письменник Блез Паскаль (1623 - 1662) дійшов висновку, що за аналогією можна побудувати будь-яку іншу n-кову (читається "енкову") позиційну систему числення для будь-якого натурального числа п > 2. Число п тоді називається основою системи числення.

Зокрема, запис числа у п'ятірковій системі числення повинен показувати, скільки у цьому числі простих одиниць (звісно, від 0 до 4, бо 5 одиниць — це вже одна одиниця наступного розряду, розряду п'ятірок), скільки п'ятірок (знову-таки від 0 до 4), скільки п'ятірок, взятих по п'ять разів, тобто двадцять п'яток, і т. д. Наприклад, запис 3412 у п'ятірковій системі числення повинен позначати число 2+1 • 5 + 4 - 52+3 • 53.