Виды неустойчивости

Введение

Неустойчивость.

    Что такое неустойчивость системы в самом широком смысле? Это неспособность системы сохранять равновесие. Например, карандаш, поставленный на острие, неизбежно падает. И хотя теоретически существует положение равновесия - строго вертикальная ориентация карандаша - в жизни оно никогда не наблюдается. Причина проста: силы, возникающие при смещении карандаша из положения равновесия, стремятся не вернуть его в это положение, а усилить это смещение, а значит, любое начальное микроскопическое отклонение от равновесия будет быстро усиливаться со временем. Именно такое положение равновесия и называется неустойчивым, а про систему, попавшую в такое положение, говорят "неустойчивая".

    Понимание того, когда система находится  в устойчивом, а когда в неустойчивом состоянии, безусловно, очень важно. Скажем, вы теоретически вычислили, что некоторая конструкция будет находиться в положении равновесия при таких-то и таких-то параметрах. Вы ее построили и обнаружили, что вместо того, чтобы ровно стоять, конструкция рушится прямо на глазах. Вывод: то положение равновесия, которое вы нашли теоретически, оказалось неустойчивым, нестабильным.

    В случае твердого тела все было достаточно просто: движение твердого тела описывается  с помощью относительно несложных уравнений, и в большинстве случаев поведение системы можно понять, даже их и не решая. Совершенно иная ситуация с жидкостями. Жидкость - система с огромным числом степеней свободы, именно это и делает ее поведение столь разнообразным. И одно из проявлений этого - существование множества интересных (и порой совершенно неожиданных) типов неустойчивого поведения жидкости. 

Гидродинамическая неустойчивость

Итак, переход к  турбулентности связан с неустойчивостью, а неустойчивость, в свою очередь, – с возникновением и развитием возмущений. Откуда же в реальной физической системе, какой является движущая жидкость, могут зародиться возмущения? Источников возмущений очень много. Прежде всего реальная установка (канал с движущейся жидкостью) находится на лабораторном столе, которому передаются колебания от стен и пола здания – результат сотрясения из-за проехавшей по соседству машины или, может быть, даже слабого сейсмического возмущения. Далее, вход жидкости в канал практически никогда не бывает идеально гладким, на входе в жидкость вносятся входные возмущения, они движутся вдоль жидкости вместе с ней и могут при благоприятных (неблагоприятных?) условиях нарастать. Стенки канала почти никогда не бывают лишены неровностей, шероховатостей. Обтекающий эти шероховатости поток непрерывно возмущается. Этот список можно было бы продолжать долго. Но есть источник возмущений, принципиально неустранимый. Это так называемые флуктуации. Когда мы говорим, например, что в данной точке потока плотность постоянна, это лишь означает, что она постоянна в среднем. Около этого среднего значения происходят малые, но макроскопические отклонения в ту или другую сторону. Они приводят к макроскопическим (малым) отклонениям (флуктуациям) давления, температуры и скорости. Флуктуации, таким образом, являются постоянно действующим источником возмущений, в принципе неустранимым.

Поставим теперь (мысленно) эксперимент по ламинарно-турбулентному  переходу в трубе конечной длины. Вход в трубу постараемся сделать, насколько это возможно, гладким  и постепенным, пытаясь устранить возмущения на входе. От шероховатости стенок также попытаемся отделаться благодаря тонкой шлифовке поверхности. Тот факт, что труба имеет конечную длину, также играет важную роль: представим себе, что в потоке жидкости возникло малое возмущение, которое, во-первых, сносится потоком вниз по течению и, во-вторых, в условиях неустойчивости нарастает. Для его роста требуется некоторое характерное время. Требуется время и для сноса возмущения потоком, оно просто равно (по порядку величины) длине трубы, поделенной на скорость потока. Если характерное время нарастания возмущения больше времени сноса, то оно не успеет вырасти на рабочем участке трубы и будет вынесено за его пределы. Если поставить опыт с учетом сделанных оговорок, то получится, что такие важные источники возмущений, как вход и шероховатость стенок, почти полностью устраняются, а те возмущения, которые все-таки возникнут, будут вытеснены потоком за пределы рабочего участка. Результаты такого опыта оказываются удивительными: удается существенно отодвинуть порог возбуждения турбулентности, критическое число Рейнольдса, таким образом, удается увеличить на 2-3 порядка, происходит "затягивание порога турбулентности".

Можно поставить  также опыт с регулируемой шероховатостью стенок. Уменьшить шероховатость можно лишь до определенного предела, скажем до молекулярных размеров. Но можно ее искусственно увеличить, наклеивая на стенки, допустим, мелкие кристаллики контролируемых размеров. Таким образом, удается создать целую гамму трубок с оцениваемой наперед шероховатостью. Опыт говорит, что в этих случаях порог ламинарно-турбулентного перехода также изменяется в довольно широких пределах, причем критическое число Рейнольдса возрастает с уменьшением шероховатости.

Эти простые опыты говорят о том, что идея связать переход к турбулентности с гидродинамической неустойчивостью здравая. Но для полного спокойствия необходимо, скажем, на примере какой-либо задачи детально сравнить получаемое теоретически критическое число Рейнольдса с опытным его значением. Совпадение этих чисел будет существенным доводом в пользу концепции гидродинамической неустойчивости. 

Развитие  неустойчивости Рэлея — Тейлора.

Неустойчивость  Рэлея — Тейлора (названа в честь Лорда Рэлея и Дж. И. Тейлора) — возникает между двумя контактирующими сплошными средами различной плотности, когда более тяжёлая жидкость толкает более лёгкую. Примером такой неустойчивости может служить неустойчивость капли воды на поверхности масла — вода будет пытаться проникнуть сквозь масло.

Основным параметром, определяющим скорость развития этой неустойчивости является число Атвуда. 

Общие свойства неустойчивости на примере неустойчивости Рэлея-Тэйлора

    Основные  черты развития нестабильности в  жидкости можно проиллюстрировать на конкретных примерах. Рассмотрим две жидкости, находящиеся в сосуде (Рис.1а). Пусть более тяжелая жидкость расположена наверху, а граница их раздела абсолютно плоская. Такая ситуация, конечно же, невыгодна с точки зрения потенциальной энергии всей системы. Значит, более тяжелая жидкость будет стараться опуститься вниз. Однако просто так опуститься она не может: ведь она должна куда-то вытеснить находящуюся под ней более легкую жидкость. Как она может это сделать? Ответ известен всем из жизненного опыта: в одной части сосуда тяжелая жидкость будет опускаться вниз, а в другой будет всплывать легкая жидкость (Рис.1б).

    Но  тут опять не все так просто: ведь для того, чтобы такой процесс начался, нужно, во-первых, чтобы возник "зародыш", то есть небольшое начальное отклонение границы раздела от абсолютной плоскости, а во-вторых, чтобы это отклонение самопроизвольно усиливалось. Первое условие выполняется всегда: ведь все вещества состоят из движущихся молекул, и если где-то какая-то молекула случайно "выбилась" из своего вещества - вот вам и начальное отклонение. А вот со вторым условием все гораздо хитрее.

    При небольшом отклонении жидкости от равновесия обычно существуют два класса сил (Рис.2): силы, которые стараются вернуть  жидкость обратно в положение  равновесия (стабилизирующие силы), и силы, пытающиеся увести систему как можно дальше от положения равновесия (дестабилизирующие силы). В нашем случае к первому классу сил относится сила поверхностного натяжения. Эта сила старается минимизировать поверхность раздела двух жидкостей, выпрямить ее (Рис.2а). Ко второму классу относится сила тяжести: Земля притягивает тяжелую жидкость сильнее, и потому усиливает отклонения (Рис.2б). Итак, мы видим, что динамика жидкости в данном примере определяется противоборством двух конкурирующих сил. Важно еще и то, что обе эти силы одинаковым образом (линейно) зависят от величины отклонения. Поэтому оказывается, что та сила, которая "перевешивает" при небольшом отклонении, будет перевешивать и при любом другом отклонении. То есть, если возвращающая сила оказывается больше, все случайные отклонения от положения равновесия будут "гаситься", а значит, равновесие сохранится. Если же поверхностное натяжение не столь сильно, то преобладать будет сила тяжести, а значит, любое, даже самое маленькое возмущение будет быстро усиливаться, пока, наконец, не перерастет в течение, охватывающее всю систему. Именно такая ситуация и называется неустойчивостью Рэлея-Тэйлора.

    В жидкости существует еще много других типов неустойчивости (см. ссылку [1]). Однако для всех них характерно описанное выше противоборство двух типов сил. И от того, какая из этих сил победит, зависит дальнейшая эволюция жидкости. 
 

Постановка задачи

Аналитическое описание.

Задача о неустойчивости Рэлея — Тейлора имеет аналитическое  решение в рамках линейной теории устойчивости.

Пусть два протяжённых  плоских горизонтальных слоя жидкости расположены в поле тяжести друг над другом, причём более тяжёлая жидкость 1 находится вверху (на иллюстрации - синий цвет), плотности жидкостей ρ₁,ρ₂. Верхняя и нижняя границы - твёрдые. Для простоты удобно пользоваться моделью невязкой несжимаемой жидкости, тогда система описывается уравнением Эйлера:

В дальнейшем компоненты скорости определяются как  . Вполне очевидно, что равновесное решение ( ) удовлетворяет модели, при этом из уравнения Эйлера для давления получается следующее:

Откуда определяется равновесное распределение давления (известный результат для давления столба жидкости):

P₀ = − ρgz.

Внесём в равновесное  состояние малые возмущения. Пусть  скорость настолько мала, что можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Эйлера, а давление имеет вид P = P₀ + P', где P' < < P₀. Тогда получим линейную систему уравнений для малых возмущений (далее штрих у давления опущен):

Граничные условия  задаются исходя из соображений равенства z-компонент скорости жидкостей 1 и 2 на границе раздела и наличия поверхностного натяжения. На верхней и нижней границах, т.к. жидкость идеальная, работают условия непротекания. Удобно принять координату границы раздела в равновесии за 0. На ней выполняется кинематическое условие

и динамическое условие

Условие непротекания верхней и нижней границ:

где ζ - величина отклонения границы от невозмущённой, σ - коэффициент поверхностного натяжения. Полученная задача для возмущений легко решается.

Положим, что  возмущения имеют вид:

где λ - скорость роста (инкремент) возмущения, k_x,k_y - компоненты волнового вектора возмущения границы.

Из уравнения  Эйлера выражается w:

а условие несжимаемости  даёт уравнение Лапласа для давления. В итоге, скорость течения из задачи удаётся исключить. Остаётся линейное уравнение:

с граничными условиями:

Решение уравнения Лапласа для давления:

Константы C₁,C₂ определяются из кинематического условия. Динамическое условие даёт связь между инкрементом и модулем волнового вектора

откуда непосредственно  следует выражение для критического волнового числа возмущений (при λ = 0):

.

Если длина  волны больше критической, то возмущения границы будут нарастать.

В предельном случае бесконечно глубоких слоёв (kh > > 1) наибольшая скорость роста возмущений достигается при волновом числе

.

В тонких слоях (kh < < 1):

  Приложения неустойчивости Рэлея-Тейлора

  Неустойчивость Рэлея-Тейлора в астрофизике.

Р.-Т.н. играет важную роль в ряде астрофизич. явлений. Так, данная неустойчивость возникает, по-видимому, на адиабатической стадии расширения остатков вспышек сверновых звезд. Действием Р.-Т.н. можно объяснить существование включений нейтрального газа, наблюдаемых во многих зонах HII. Вероятно, Р.-Т.н. наряду с гравитационной неустойчивостью способствует образованию крупных газово-пылевых комплексов в нашей и др. галактиках, к-рые можно рассматривать как конденсации вещества в гравитац. поле звезд галактики. Перечисленные примеры не исчерпывают всех астрофизич. проявлений Р.-Т.н.

Самым простым  видом Р.-Т.н. явл. неустойчивость равновесия двух слоев газа (или жидкости), когда  они находятся в однородном поле тяжести и более плотный слой лежит на менее плотном. Если в  начальный момент времени поверхность раздела между такими слоями имеет плоскую форму (рис. 1, а), то любое случайное изменение формы поверхности раздела будет нарастать с течением времени (рис. 1, б), поскольку более плотный газ, проникнув в менее плотный, начнет "тонуть" - опускаться в направлении действия силы тяжести, вытесняя вверх менее плотный газ. Взаимное проникновение легкого и тяжелого газов сопровождается уменьшением потенц. энергии системы, к-рая достигает минимума лишь при полной замене местами слоев легкого и тяжелого газа (рис. 1, в), что соответствует устойчивому равновесию.

Пример более  сложной Р.-Т.н. - неустойчивость равновесия плазмы, находящейся в однородном поле тяжести над областью пространства с продольным относительно границы  плазмы магн. полем (рис. 2, а). Этот тип неустойчивости получил название "неустойчивость Крускала-Шварцшильда". Неустойчивость указанного равновесия легко заменить, используя аналогию с рассмотренным выше случаем, грубо полагая, что плазма играет роль тяжелого газа (плотностью ), а магн. поле - легкого газа (точнее, невесомого газа). Действительно, всякое незначит. искривление пограничных силовых линий магн. поля будет сопровождаться стеканием плазмы под действием собств. веса вдоль силовых линий в местах их прогибания, поскольку поперек силовых линий плазма двигаться не может (см. Магнитогидродинамика). В местах оттока плазмы силовые линии будут продолжать подниматься, а в местах ее накопления силовые линии будут продолжать опускаться (рис. 2, б). В результате плазма соберется в образованных силовыми линиями "долинах" - возникнут отдельные сгущения плазмы.

Заметную роль Р.-Т.н. должна играть при расширении остатков вспышек сверхновых звезд. На адиабатич. стадии расширения остатка  сброшенная при вспышке оболочка сгребает окружающее вещество межзвездной  среды. Вблизи контакта выброшенного вещества со сгребаемым газом образуется слой, в к-ром плотность вещества уменьшается наружу. Эволюция остатка вспышки сверхновой сопровождается постоянным уменьшением скорости расширения. Это равносильно действию в системе координат, связанной с веществом оболочки, эффективного ускорения, направленного наружу. Следовательно, в указанном слое имеет место Р.-Т.н., поскольку в нем создаются условия, при к-рых более плотный газ находится над менее плотным. Наличие Р.-Т.н. способствует развитию в слое турбулентных движений, к-рые, в свою очередь, усиливают магн. поле. Электроны могут быть ускорены в этом поле до такой степени, что их синхротронным излучением можно объяснить наблюдаемую в радиодиапазоне светимость остатков вспышек сверхновых.

Аналогичная картина  наблюдается при ускорении нейтрального газа ионизац. ударной волной. Развитие возмущений ионизац. фронта приводит к образованию отдельных фрагментов нейтрального газа (тяжелый газ), отрыву их от ионизац. фронта и последующему погружению в более разреженную среду ионизованного газа (легкий газ). Этот механизм может объяснить существование включений нейтрального водорода, наблюдаемых во многих зонах HII.

Образование крупных  газово-пылевых комплексов в нашей  и др. галактиках также можно рассматривать  как результат действия Р.-Т.н. в среде галактич. дисков. Галактич. диск содержит газ, пыль и звезды, к-рые дают осн. вклад в гравитац. поле, и пронизан параллельным плоскости диска магн. полем. Магн. поле препятствует оседанию газа к галактич. плоскости. Равновесие газа в галактич. диске подобно равновесию плазмы, поддерживаемой продолным магн. полем, и явл. неустойчивым. Возникновение незначит. флуктуаций плотности вещества сопровождается искривлением силовых линий, вдоль к-рых происходит стекание вещества в образовавшиеся в магн. поле "долины" (рис. 2, б). В результате возникают сгущения газа и пыли, формируются крупные газово-пылевые облака.

Количеств. анализ Р.-Т.н. основывается на исследовании линеаризованных  уравнений гидродинамики или  магнитогидродинамики для малых  отклонений (возмущений) характеристик  среды от равновесных значений. Возмущения обычно представляют в виде волн различной длины , описываемых выражением , где - волновое число возмущения, определяющее его пространственный масштаб; x - координата, ось к-рой лежит в плоскости раздела сред с различными плотностями вещества ( и ) и вдоль к-рой распространяется возмущение; n - инкремент неустойчивости, характеризующий развитие возмущения во времени; t - время. Решением линеаризованных уравнений гидродинамики для простейшего случая Р.-Т.н. (рис. 1) явл. дисперсионное соотношение , где и . Эта дисперсионная зависимость изображена кривой 1 на рис. 3: инкремент неустойчивости увеличивается с ростом волнового числа (мелкомасштабные возмущения растут быстрее). Для получения более строгой зависимости n(k) необходимо учитывать вязкость вещества и магн. поле.

Влияние вязкости вещества и магн. поля рассмотрим на примере простейшего типа Р.-Т.н. (рис. 1). Вязкость вещества уменьшает n при всех значениях k (кривая 2 на рис. 3), причем для больших значений k. поведение инкремента приближенно описывается зависимостью , где - коэфф. вязкости. Если газовая среда находится в однородном магн. поле, параллельном ускорению силы тяжести ( ) , то при больших значениях k рост инкремента неустойчивости ограничен величиной , где - альвеновская скорость (см. Альвеновские волны, Плазма). Дисперсионная зависимость для этого случая дается кривой 3 на рис. 3. Влияние однородного магн. поля, перпендикулярного ускорению силы тяжести ( ) , зависит от направления распространения возмущения. При распространении возмущения поперек магн. поля ( ) , последнее не играет никакой роли, и дисперсионная зависимость совпадает с таковой для простейшего случая (кривая 1 на рис. 3). Для возмущений, распространяющихся вдоль магн. поля ( ) , характерно существования максимума инкремента неустойчивости, равного при значении волнового числа (кривая 4 на рис. 3), где - граничное значение волнового числа, к-рое разделяет неустойчивые возмущения с волновыми числами и устойчивые возмущения при . Учет вязкости и в этом случае приводит к характерному уменьшению инкремента неустойчивости (кривая 5 на рис. 3).

Ярким известным  проявлением неустойчивости Рэлея — Тейлора являются вымеобразные облака, а также ядерный гриб.

О гидродинамической неустойчивости ускоряющейся поверхности раздела гомогенной и двухфазной сред 

Рассмотрим  задачу о гидродинамической неустойчивости пломкой поверхности раздела  двух сред, движущихся с ускорением , в случае, когда одной из них является однородная идеальная несжимаемая жидкость, а другой  двухфазная монодисперсная аэровзвесь. Определено, что используемая система уравнений, описывающих движение двухфазной смеси, имеет три типа возмущений.

Методом малых возмущений найдено существование неустойчивого корня, связанного с действием массовой силы (при g →0  он исчезает) в двухфазной среде (при исчезновении дисперсной фазы он также исчезает), а естественным стабилизирующим механизмом для него является действие межфазного трения, так что при увеличении вязкости несущей фазы,  →∞, он также исчезает. При увеличении вязкости, либо уменьшении размера частичек, либо уменьшении волнового числа возмущения, либо увеличении ускорения доминирующим становится действие классического механизма неустойчивости Рэлея  Тейлора.

При движении двухфазной дисперсной смеси иногда возникает проблема, связанная с  характером её взаимодействия с внешней гомогенной средой. Вблизи поверхности раздела возникают условия для развития гидродинамической неустойчивости обоих типов (Кельвина  Гельмгольца и Релея  Тейлора). Механизм неустойчивости, например, может оказывать влияние на дальнейшее поведение сорванных вторичных капелек, образующих

аэровзвесь  в аэродинамическом следе первичной  капли аэрозоля [1], осуществляя механическое перемешивание компонент и ускоряя тем самым формирование гомогенной горючей смеси за фронтом детонационной волны в аэрозоле. Влияние массы частичек на устойчивость поверхности раздела может быть учтено простым увеличением плотности дисперсной среды, а вот для определения влияния других внутренних её свойств (относительного движения, межфазного взаимодействия) моделей механики гомогенной

среды недостаточно и требуется привлечение двухскоростной модели. Устойчивость решений уравнений  таких моделей широко исследуется в последнее время при изучении движения жидкости по трубопроводам [2], в том числе применительно к возникновению снарядных течений при транспортировке углеводородного сырья [3], при изучении двухфазных течений в слоях смешения [4]. Неустойчивость внутреннего течения в двухфазной системе может приводить к динамической коагуляции аэрозоля [5]. Проявление неустойчивости типа Релея  Тейлора при фильтрационном вытеснении одной жидкостью другой ведёт к образованию пальцев и нежелательному смешению вытесняющей и вытесняемой фаз [6]. Такого рода практические задачи вызывают необходимость исследовать прежде всего общие свойства исходных уравнений динамики двухфазных сред. В настоящей работе исследование устойчивости ускоряющейся границы раздела двухфазной и гомогенной сред по отношению к малым возмущениям выполнено в обычной гидродинамической постановке. 
Неустойчивость тонких пленок

    Изучая  вопрос гидродинамической устойчивости, ученые долгое время интересовались исключительно обычными, ньютоновыми жидкостями (про ньютоновы и не-ньютоновы жидкости мы писали в статье "Жидкость с памятью"). А ведь текучестью, а значит, и всеми гидродинамическими явлениями в полной мере обладают и так называемые пластические жидкости: гели, пасты, пены, то есть вещества, начинающие течь под действием достаточно большой внешней силы.

    Именно  нестабильность в таких веществах  стала активно исследоваться  в последнее время. В статье [2] описываются эксперименты с тонкими  полимерными пленками в присутствии  внешнего электрического поля, играющего в данном случае роль дестабилизирующего воздействия. На полированную поверхность кремния наносилась тонкая полимерная пленка толщиной порядка микрометра, являющаяся одновременно одной из обкладок конденсатора. Над ней на высоте также порядка микрометра находилась проводящая поверхность, служившая второй обкладкой. Когда между обкладками создавалось достаточное напряжение, на поверхности пленки появлялась "рябь" (Рис.3). Это, как мы знаем, и есть проявление нестабильности, причем нестабильность здесь - практически той же природы, что и неустойчивость Рэлея-Тэйлора. Единственное отличие - вместо гравитационного поля неустойчивость здесь вызывает электрическое поле конденсатора.

    Интересно, что с помощью такого явления  можно "копировать" сложные структуры  субмикронного масштаба с заранее  приготовленной матрицы на полимерные пленки. В самом деле, если верхний  электрод содержит какую-то структуру, какой-то "узор", то, как показано на Рис.3б, "узор" на поверхности полимерной пленки будет в точность его повторять. Это и неудивительно: ведь нестабильность поверхности пленки наступит раньше там, где сильнее электрическое поле, а именно, непосредственно под выступами верхнего электрода. Именно на это важное приложение нестабильности полимерных пленок и делается основной акцент в статье. Ведь по этой методике можно быстро и дешево "штамповать" сложные конструкции, например, элементы интегральных схем.

    Нестабильность  тонких пленок привлекает и внимание теоретиков. Например, в работе [3] теоретически изучалось поведение тонких пленок пластической жидкости в присутствии  внешних сил. Ученых интересовало не только то, при каких условиях на поверхности пленки появляется рябь (то есть пленка становится нестабильной), но и свойства этой ряби, а именно, ее характерная длина волны. Было установлено, что в зависимости от коэффициента поверхностного натяжения и сжимаемости пленки, а также в зависимости от того, как внешняя сила меняется с расстоянием, существуют три режима поведения. Во-первых, пленка может сохранить свое равновесие - это ситуация, очевидно, имеет место при небольших внешних силах. Во-вторых, пленка может просто равномерно "прилипнуть" к притягивающей поверхности: это происходит с легко сжимаемыми жидкостями. И наконец, на поверхности пленки может образовываться рябь со вполне определенной длиной волны. Новое наблюдение, сделанное авторами работы, состоит в том, что эта длина волны, то есть характер возникающего узора, не зависит ни от природы внешней силы - будь это электрическое поле, ван-дер-ваальсовы или какие-либо другие силы, - ни от ее величины, а целиком определяется толщиной пленки. Такая универсальность пока еще не наблюдалась в эксперименте, поэтому здесь предсказания теоретиков еще ждут своего подтверждения.