Временные ряды. 2

 

Содержание:

 

Введение ………………………………………………………………………3

1. Временные ряды и их компоненты …………………………………4
2. Основные показатели динамики для временного ряда годовых данных ………………………………………………………………….7
3. Проверка гипотезы о наличии тренда (критерий Фостера-Стюарта, критерии серий) ……………………………………………………..10
4. Анализ структуры временного ряда с использованием коэффициента автокорреляции …………………………………….12
5. Сглаживание временного ряда квартальных данных с помощью скользящих средних ………………………………………………….13
6. Методы прогнозирования на основе временных рядов …………..14
7. Метод экспоненциального сглаживания с учетом тренда ……….17
8. Практическая часть …………………………………………………..20

Заключение  ………………………………………………………………….26

Литература ………………………………………………………………….27

 

Введение

 

 

  Временным рядом (динамическим рядом, английский термин «Time series») называется ряд находящихся в хронологической очередности значений статистического признака, определяющего изменение социально-экономического явления во времени. В нем процесс финансового становления изображается в виде совокупности прерывов непрерывного, позволяющих отчетливо изучить специфики становления при помощи характеристик, отображающих изменение параметров финансовой системы во времени. Фактор времени тут приобретает главное значение. Одна из важнейших задач статистики заключается в исследовании процесса изменения и развития, изучаемых социально-экономических явлений во времени, решаемая с помощью построения временных рядов. Именно поэтому выбранная тема актуальна.

Объектом работы являются временные ряды.

Предметом - методы построения временных рядов.

Цель работы - проанализировать методы построения временных рядов, сделать выводы.

1.Временные  ряды и их компоненты

 

  Процесс изменения  социально-экономических явлений  во времени заключается в том,  что происходит изменение воздействия на данное становление множества факторов общественного, экономического, научно-технического и любого иного процесса, а фактор времени аккумулирует их влияние. Возьмем хотя бы финансовые факторы. С течением времени они меняются под воздействием внутренних причин экономического развития вообще, хотя с внешней стороны данное становление выглядит как развитие во времени. Любой временной ряд включает 2 неотъемлемых элемента: время (t) и точное значение признака, либо уровень ряда (yi).

  Анализ временных рядов позволяет последить развитие явления, продемонстрировать его ключевые пути, направленности и темпы. Выбор надлежащих способов и приемов анализа зависит от задач исследования и определяется характером начальных данных.

  Поэтому,  приступая к анализу временных рядов, важно правильно их классифицировать. Классификация представлена ниже в таблице 1.

Таблица 1. Классификация  временных рядов

Признак классификации	Виды временного ряда
1. В зависимости  от качественной особенности изучаемого явления.	1. Абсолютных  величин 2. Относительны  величин 3. Средних величин
2. В зависимости  от того, как уровни выражают состояния  явлений во времени	1. Интервальные  ряды 2. Моментные  ряды
3. В зависимости  от расстояния между уровнями.	1. С равностоящими уровнями по времени 2. С не равностоящими  уровнями по времени
4. В зависимости  от наличия основной тенденции изучаемого процесса.	1. Стационарные  ряды 2. Нестационарные  ряды

  Выбор вида  временного ряда определяется  целями анализа.

  Временные  ряды охватывают отдельные обособленные периоды времени, в течение которых могут происходить перемены, вызывающие несопоставимость уровня ряда. Это делает временные ряды непригодными для анализа (несопоставимость уровней). К несопоставимости приводит перемена состава изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, перемена методологии учета и расчета признаков, инфляционные процессы и т. п. Несопоставимыми временные ряды считаются и в том случае, когда они составлены из неодинаковых по длительности периодов времени. Это относится, прежде всего, к рядам внутригодовой динамики с квартальными и месячными уровнями.   Временные ряды и их компоненты

Совокупность наблюдений величины, сделанных на протяжении некоторого промежутка времени, называют данными временного ряда или же просто временным рядом. Наиболее часто наблюдения регистрируются через постоянные промежутки времени. В общем случае временные ряды не представляют собой случайную подборку и требуют специализированных способов для их исследования. Наблюдения во временных рядах, в большинстве случаев, зависят друг от друга (автокоррелируют). Эта зависимость образует модель изменения или же поведения данных, которую применяют для предсказания их будущих значений, а это, к тому же, может существенно помочь руководству в управлении деловыми операциями.

Декомпозиция

 Один из методов  анализа данных временных рядов  включает попытку определить  составляющие факторы, которые  влияют на каждое значение  временного ряда. Подобная процедура  идентификации называется декомпозицией. Каждая компонента идентифицируется отдельно. Затем вклады каждой компоненты комбинируются с целью получения прогнозов будущих значений временных рядов.

Рассмотрение методов  декомпозиции начинается с четырех  компонент временных рядов –  это трендовая, циклическая, сезонная и нерегулярная (или случайная) компоненты.

1.  Тренд. Тренд –  это компонента, представляющая  основной рост (или спад) во временном  ряду. Компонента тренда обозначается  буквой  .

2.  Цикличность. Циклическая  компонента – это последовательность волнообразных флуктуации или циклы длительностью более одного года. Изменение экономических условий обычно происходит циклически. Циклическая компонента обозначается буквой .

3.  Сезонность. Сезонные  изменения обычно присутствуют  в квартальных, месячных или недельных данных. Под сезонными вариациями понимаются изменения с более или менее стабильной структурой, имеющие годовую цикличность и повторяющиеся из года в год. Сезонная компонента обозначается буквой .

4.  Нерегулярность. Нерегулярная  компонента включает непредсказуемые или случайные флуктуации. Нерегулярная компонента обозначается буквой .

Двумя простейшими моделями, связывающими наблюдаемую величину временного ряда ( ) с компонентами тренда ( ), сезонности ( ) и нерегулярности ( ), являются модель аддитивных компонент

                                               (1)

и модель мультипликативных  компонент.

                                              (2)

Модель аддитивных компонент  применима в тех случаях, когда  анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые изменения на протяжении всей длительности ряда. Иными словами, все значения ряда существенно убывают в пределах полосы постоянной ширины, центрированной на уровне тренда.

Модель мультипликативных  компонент эффективнее в тех ситуациях, когда изменение временной последовательности увеличивается с ростом уровня.

Тренд

Тренд представляет собой  долговременные изменения во временных  рядах, которые иногда можно описать  с помощью прямой линии или  гладкой кривой. Если грубо представить тренд в виде прямой линии, т.е. если рост или спад похожи на прямую линию, то она описывается следующим уравнением:

,                                                  (3)

где

 – это расчетное значение  тренда в момент времени  .

Символ  используется для независимой переменной, представляющей время и обычно принимающей целочисленные значения 1,2,3,..., соответствующие последовательным периодам времени. Коэффициент наклона является средним ростом или спадом для любого возрастания во времени за один период.

3.Прогноз тренда

Пусть прогноз  величины на шагов вперед делается в момент времени (конец последовательности), при этом для прогнозирования используется трендовая модель. Период времени, на который делается прогноз, – в данном случае это – называется началом предсказания. Значение именуется дальностью прогнозирования. Для модели линейного тренда можно сделать прогноз, вычисляя значения по уравнению .

 

2.Основные  показатели динамики для временного  ряда годовых данных

 

Если в исходных данных нам представлен интервальный ряд с равноотстоящими уровнями во времени. Тогда для определения среднего уровня ряда можно воспользоваться следующей формулой:

,                                                   (4)

где

– длина временного ряда, то есть число уровней.

Для количественной оценки динамики явлений применяются  следующие основные аналитические  показатели:

1)  абсолютный  прирост;

2)  темпы роста;

3)  темпы прироста.

Причем каждый из перечисленных показателей может  быть трех видов:

1)  цепной;

2)  базисный;

3)  средний.

Абсолютный  прирост характеризует изменение  показателя за определенный промежуток времени и находится по формуле:

,                                              (5)

где

,

.

Причем, если , то можно найти цепной абсолютный прирост:

.                                               (6)

Если  , то можно найти базисный абсолютный прирост относительно начального уровня:

.                                                 (7)

Средний абсолютный прирост – это обобщающая характеристика скорости изменения исследуемого показателя во времени (скорость – это прирост в единицу времени):

,                                                 (8)

где

– цепной абсолютный прирост

Темп роста  характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда и определяется по формуле:

.                                           (9)

Цепной темп роста:

.                                           (10)

Базисный темп роста относительно начального уровня:

.                                             (11)

Средний темп роста – обобщающая характеристика динамики, отражающая интенсивность изменения уровней ряда. Эта величина показывает, сколько в среднем процентов составляет последующий уровень от предыдущего на всем периоде наблюдения. Показатель находится по формуле:

.                                          (12)

Темп прироста характеризует  абсолютный прирост в относительных  величинах. Данный показатель показывает, на сколько процентов изменился  сравниваемый уровень по отношению  к уровню, принятому за базу сравнения. Для расчета этой величины необходимо воспользоваться следующей формулой:

.                                     (13)

Цепной темп прироста:

.                                               (14)

Базисный темп прироста относительно начального уровня:

.                                       (15)

Средний темп прироста:

.                                            (16)

 

 

3.Проверка  гипотезы о наличии тренда 

(критерий  Фостера-Стюарта, критерии серий)

 

  Если присутствие  тренда во временном ряду прослеживается  нечетко, то прежде чем перейти к дальнейшему анализу, нужно выяснить, существует ли тенденция в исследуемом процессе. Основные подходы к решению этой проблемы основаны на проверке статистических гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда ( ).

  Существует  множество критериев, которые  отличаются мощностью и сложностью. К таким критериям можно отнести  критерии серий и критерий  Фостера-Стюарта. Критерии серий  делятся на критерий серий,  основанный на медиане выборки, и критерий «нисходящих» и «восходящих» серий.

Введем 2 гипотезы:

 – тренда нет;

 – тренд присутствует.

Критерий Фостера-Стюарта

Проверка гипотезы осуществляется в несколько этапов:

1)  Для начала  определяем вспомогательные характеристики  и :

.

2)  Вычисляем  . Эта величина может принимать значения: –1,0,1.

3)  .

4) 

5)  Применяем  критерий Стьюдента:

,                                                    (17)

где

 – среднее квадратическое  отклонение величины .

Если , то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Критерии серий:

1)  Критерий  «восходящих» и «нисходящих»  серий.

Образуем последовательность из «+» и «-» по следующему правилу [6, C.59]:

,

где

.

В случае если , учитывается лишь одно значение.

Далее необходимо подсчитать число серий и протяженность самой длинной серии и проверить выполнение неравенств

Если оба  неравенства выполняются, то принимается  гипотеза при уровне значимости .

2)  Критерий  серий, основанный на медиане  выборки.

Строим ранжированный  ряд: , где – наименьшее значение из .

Определим медиану  полученного вариационного ряда:

если  , то ,

если , то .

Следующий шаг  – это образование последовательности из «+» и «-» по правилу:

 

.

 

Если  , то это значение пропускается.

 

  Далее необходимо  подсчитать число серий в совокупности , где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или минус тоже считается серией.

  При отсутствии системной  составляющей протяженность самой  длинной серии не должна быть  слишком большой, а число серий слишком маленьким,

  Если хотя бы одно  из неравенств нарушается, то  гипотеза  отвергается с вероятностью ошибки, то есть подтверждается наличие неслучайной составляющей, зависящей от .

 

4.Анализ  структуры временного ряда с  использованием коэффициента автокорреляции

 

При наличии тенденции  и периодических колебаний значений каждого последующего уровня ряда зависит  от предыдущих.

Коэффициент автокорреляции находится по следующей формуле:

.     (18)

 

Аналогично находятся  остальные коэффициенты:

 

.    (19)

 

Проверим значимость коэффициента автокорреляции. Для этого введем две гипотезы:

:

:

 находится по таблице  критических значений  отдельно для >0 и <0. Причем, если | |>| |, то принимается гипотеза , то есть коэффициент значим. Если | |<| |, то принимается гипотеза   и коэффициент автокорреляции незначим. Если коэффициент автокорреляции достаточно велик, то проверять его значимость необязательно.

 

5.Сглаживание  временного ряда квартальных  данных с помощью скользящих  средних

 

  Распространенным способом при выявлении и анализе тенденции временного ряда считается его сглаживание. Сущность различных способов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые в наименьшей мере подвержены колебаниям. Это способствует наиболее конкретному проявлению тенденции развития.

  Скользящие  средние позволяют сгладить как  случайные, так и периодические  колебания и обнаружить направленность  в развитии процесса, поэтому  они служат актуальным инструментом  при фильтрации составляющих временного ряда. Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием изменения курса с помощью процедур аналитического подхода.

  Процедура  сглаживания приводит к устранению  периодических колебаний во временном ряду, когда длина интервала берется одинаковой или же кратной периоду колебаний.

  Если  - четное число, то первое и последнее наблюдения на активном участке берутся с половинными весами. Активный участок сглаживания – наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения.

Для четырехчленной скользящей средней используется следующая  формула:

.(20)

Аналогично находятся  остальные сглаженные значения.

  Недостатком  метода скользящей средней является  потеря первых и последних  уровней ряда. Причем потеря последних  уровней ряда является существенным  недостатком, так как свежие  значения обладают наибольшей  информационной ценностью.

  Одним из приемов  восстановления пропущенных уровней является последовательное прибавление среднего абсолютного прироста на последнем активном участке к последнему сглаженному значению. Для восстановления используется формула:

 

.                                           (21)

 

 

6.Методы  прогнозирования на основе временных  рядов

 

 Основным фактором, влияющим  на выбор метода прогнозирования,  является идентификация и четкое  понимание реальных моделей, присутствующих  в данных. Если в них удастся  распознать тренд, циклическую  или сезонную модель, это существенно облегчит поиск эффективного метода экстраполирования.

  Аппарат прогнозирования для стационарных данных

  Прогнозирование стационарного  ряда в своей простейшей форме  включает в себя использование  его предыстории для оценки  среднего значения, которое затем становится прогнозом на будущие периоды. Более сложная техника состоит в уточнении оценки с использованием вновь поступившей информации. Эти методы полезны, когда начальные оценки ненадежны или когда постоянство среднего значения под вопросом.

  Методы прогнозирования,  которые могут применяться по  отношению к стационарным рядам,  включают в себя наивные методы, методы простого усреднения, скользящие  средние, простое экспоненциальное  сглаживание и методы авторегрессионого  скользящего среднего (методы Бокса-Дженкинса).

  Аппарат прогнозирования  для данных, имеющих тренд

  Ряд, обладающий трендом,  ранее был определен как ряд,  содержащий долгосрочную компоненту, которая отражает постоянное  возрастание или убывание значений  ряда в течение продолжительного  периода времени. Наличие тренда  типично для временных рядов  экономических показателей.

  Аппарат прогнозирования, который должен использоваться для прогнозирования рядов, имеющих тренд, – это метод скользящих средних, метод линейного экспоненциального сглаживания Хольта, простая регрессия, возрастающие кривые, экспоненциальные модели и методы авторегрессионых интегрированных скользящих средних (методы Бокса-Дженкинса).

Измерение ошибки прогноза

  Основные  обозначения, используемые в прогнозировании:

 – значение временного  ряда в момент .

 – прогноз значения  .

– погрешность или ошибка прогноза.

  Разработано  несколько методов оценки ошибок, присущих отдельным методам прогнозирования.  Большинство этих методов состоит  в усреднении некоторых функций  от разностей между действительным  значением и его прогнозом.

  Ошибкой  прогноза является разность между действительным значением и его прогнозом.

  В одном  из способов оценки метода  прогнозирования используется суммирование  абсолютных ошибок. Среднее абсолютное  отклонение (Mean Absolute Derivation, MAD) измеряет  точность прогноза, усредняя величины  ошибок прогноза (абсолютные значения каждой ошибки).

 

.                                                (22)

  Среднеквадратическая  ошибка (Меаn Squared Error, MSE) – это другой  способ оценки метода прогнозирования.  Каждая ошибка или погрешность  возводится в квадрат; эти величины затем суммируются и делятся на количество наблюдений. Поскольку каждое значение отклонения возводится в квадрат, этот метод подчеркивает большие ошибки прогноза.

.                                              (23)

  Иногда предпочтительнее вычислять не абсолютные величины ошибок, а их процентное отношение. Средняя абсолютная ошибка в процентах (Mean Absolute Percentage Еггог, МАРЕ) вычисляется путем отыскания абсолютной ошибки в каждый момент времени и деления ее на действительно наблюдаемое значение (в этот момент времени) с последующим усреднением полученных абсолютных процентных ошибок. Этот подход полезен в том случае, когда размер или значение прогнозируемой величины важны в оценке точности прогноза. МАРЕ подчеркивает, насколько велики ошибки прогноза в сравнении с действительными значениями ряда.

.                                              (24)

  Часто необходимо  определить, является ли метод  прогнозирования смещенным (полученный  прогноз постоянно оказывается  заниженным или завышенным) [13, C.78]. В этих случаях используется средняя процентная ошибка (Mean Percentage Еггог, МРЕ). Она вычисляется посредством нахождения ошибки в каждый момент времени и деления ее значения на действительное значение в этот момент времени с последующим усреднением полученных процентных выражений ошибок.

.                                              (25)

Часть решения  о выборе соответствующего метода прогнозирования  состоит в определении того, дает ли данный метод достаточно малые  ошибки прогноза. Действительно, естественно ожидать, что правильно подобранный метод будет давать относительно малые ошибки прогноза.

Определенные  выше четыре способа оценки точности прогноза используются для следующих  целей:

1)  сравнение  точности двух различных методов;

2)  оценка полезности и надежности метода;

3)  отыскание  оптимального метода.

 

7.Метод  экспоненциального сглаживания  с учетом тренда

 

  В 1957 г.  Хольт разработал метод экспоненциального  сглаживания, получивший название  двухпараметрического метода Хольта. В этом методе учитывается локальный линейный тренд, присутствующий во временных рядах [14, C.117].

  Если во  временных рядах имеется тенденция  к росту, то вместе с оценкой  текущего уровня необходима и  оценка наклона. В методике  Хольта значения уровня и наклона сглаживаются непосредственно, при этом используются различные постоянные сглаживания для каждого из них. Эти постоянные сглаживания позволяют оценить текущий уровень и наклон, уточняя их всякий раз, когда появляются новые наблюдения. Одним из преимуществ методики Хольта является ее гибкость, позволяющая выбирать соотношение, в котором отслеживаются уровень и наклон.

  Ниже приведены  три уравнения, составляющие метод  Хольта.

1.  Экспоненциально  сглаженный ряд или оценка  текущего уровня:

.                             (26)

2.  Оценка  тренда:

.                             (27)

3.  Прогноз  нар периодов вперед:

,                                              (28)

где

 – новая сглаженная  величина;

  – постоянная сглаживания для данных ( );

  – новое наблюдение или реальное значение ряда в период ;

 – постоянная сглаживания  для оценки тренда ( );

  – оценка тренда;

– количество периодов вперед, на которое делается прогноз;

 – прогноз на  периодов вперед.

Постоянная  нужна для сглаживания оценки тренда.

  Постоянные и выбираются субъективно или путем минимизации ошибки прогнозирования, например значения MSE. Чем большие значения весов будут взяты, тем более быстрый отклик на происходящие изменения будет иметь место.

  Для минимизации  значения MSE нужно создать сетку значений и (т.е. все комбинации и ) и выбрать ту комбинацию, которая даст меньшее значение MSE.

  Для того  чтобы воспользоваться алгоритмом  уравнения (1.34), нужно иметь набор  из начальных величин и тренда. Одно из возможных решений состоит в том, чтобы первую оценку положить равной первому наблюдению. При этом тренд будет равен нулю. Другое решение – это определить начальное значение как среднее для первых пяти или шести наблюдений. Тогда тренд можно оценить наклоном линии, образованной этими пятью или шестью точками.

  На основе аддитивной модели

  Фактическое  значение = трендовое значение + сезонная  вариация + ошибка.

  На первом  шаге нужно исключить влияние  сезонной вариации, воспользовавшись  методом скользящей средней. Далее  необходимо провести десезонализацию данных.

Уравнение линии  тренда:

.                                                   (29)

Ошибки вычисляются  с помощью формул (22, 23).

  На основе мультипликативной  модели

  Фактическое  значение = трендовое значение * сезонная вариация * ошибка. Значения сезонной вариации – это доли. Число сезонов равно 4.

  На первом  шаге нужно исключить влияние  сезонной вариации, воспользовавшись  методом скользящей средней. Далее  необходимо провести десезонализацию  данных.