Производственное предприятие выпускает два вида краски (n=2), одна из которых предназначена для внутренних работ, а другая – для наружных работ. Для производства этих видов краски используется три типа исходных красителей и химических веществ (m=3) – индиго, железный купорос и свежегашеная известь. На производство одной весовой единицы краски i – го вида требуется aij единиц исходного красителя j – го вида. Расход этих красителей для получения каждого вида краски приводится в таблице: (Решение → 9822)

заказ №38669

Производственное предприятие выпускает два вида краски (n=2), одна из которых предназначена для внутренних работ, а другая – для наружных работ. Для производства этих видов краски используется три типа исходных красителей и химических веществ (m=3) – индиго, железный купорос и свежегашеная известь. На производство одной весовой единицы краски i – го вида требуется aij единиц исходного красителя j – го вида. Расход этих красителей для получения каждого вида краски приводится в таблице: Красители/Виды красок Для внутренних работ Для наружных работ Индиго 0,1 0,2 Железный купорос 0,2 0,1 Свежегашеная известь 0,15 0,05 Запасы исходных красителей на складе предприятия ограничены следующими значениями: индиго b1=10, железный купорос b2=7, свежегашеная известь b3=5. Стоимость каждого вида краски для оптовых покупателей равна c1=250 и c2=230. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план, используя теоремы двойственности.

Решение Введем обозначения. Пусть х1 – количество краски для внутренних работ, а х2 – количество краски для наружных работ Тогда математическая модель прямой задачи имеет вид: F(x1, x2)= 250х1 230х2  max                1 0, 2 0 0,15 1 0,05 2 5 0,2 1 0,1 2 7 0,1 1 0,2 2 10 x x x x x x x x Сформулируем двойственную задачу. (х1, х2, х3)  10y1 7y2  5y3  min               1 0, 2 0, 3 0 0,2 1 0,1 2 0,05 3 230 0,1 1 0,2 2 0,15 3 250 y y y y y y y y y Решим прямую задачу Для упрощения вычислений умножим все неравенства на 100. 250х1 230х2  max 346                1 0, 2 0 15 1 5 2 500 20 1 10 2 700 10 1 20 2 1000 x x x x x x x x Приведем задачу к каноническому виду 250х1 230х2  max                   1 0, 2 0 15 1 5 2 5 500 20 1 10 2 4 700 10 1 20 2 3 1000 x x x x х x x х x x х Решим задачу симплекс методом. базис Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 B b/aij X3 10 20 1 0 0 1000 100 X4 20 10 0 1 0 700 35 X5 15 5 0 0 1 500 33,3 F -250 -230 0 0 0 0 Максимальное по абсолютной величине значение в последней строке находится в столбце х1. Это ведущий столбец. Разделим столбец свободных членов В на ведущий столбец. Минимальное значение в последнем столбце находится в строке х5. На пересечении этой строки и ведущего столбца находится разрешающий элемент. Выделим его. Разделим ведущую строку на 15. Производим пересчет таблицы таким образом, чтобы в ведущем столбце все элементы, кроме разрешающего, были нулями. Вводим в базис х1 и выводим х5. Получим новую таблицу. базис Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 B b/aij X3 0 50/3 1 0 -2/3 2000/3 40 X4 0 10/3 0 1 -4/3 100/3 10 X1 1 1/3 0 0 1/15 100/3 100 F 0 -440/3 0 0 0 25000/3 Максимальное по абсолютной величине значение в последней строке находится в столбце х2. Это ведущий столбец. Разделим столбец свободных членов В на ведущий столбец. Минимальное значение в последнем столбце находится в строке х4. На пересечении этой строки и ведущего столбца находится разрешающий элемент. Выделим его. Разделим ведущую строку на 10/3. Производим пересчет таблицы таким образом, чтобы в ведущем столбце все элементы, кроме разрешающего, были нулями. Вводим в базис х2 и выводим х4. Получим новую таблицу. базис Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 B b/aij X3 0 0 1 -5 6 500 250/3 X2 0 1 0 3/10 -2/5 10 - X1 1 0 0 -1/10 1/5 30 150 F 0 0 0 44 -42 9800 Отрицательное значение в последней строке находится в столбце х5. Это ведущий столбец. Разделим столбец свободных членов В на ведущий столбец. Минимальное значение в последнем столбце находится в строке х3. На пересечении этой строки и ведущего столбца находится разрешающий элемент. Выделим его. Разделим ведущую строку на 6. Производим пересчет таблицы таким образом, чтобы в ведущем столбце все элементы, кроме разрешающего, были нулями. Вводим в базис х5 и выводим х3. Получим новую таблицу. базис Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 B b/aij 347 X5 0 0 1/6 -5/6 1 250/3 X2 0 1 2/30 -1/30 0 130/3 X1 1 0 -1/30 1/15 0 40/3 F 0 0 7 9 0 13300 Процесс вычислений закончен, т.к в последней строке нет отрицательных элементов. Max F(x1, x2)=F( 3 40 , 3 130 )=250* 3 40 +230* 3 130 =13300 3 40 х1  , 3 130 х2  Проверим выполнение неравенств                             1 0, 2 0 416,67 500 3 130 5 3 40 15 700 700 3 130 10 3 40 20 1000 1000 3 130 20 3 40 10 x x По теореме двойственности из этих вычислений следует, что y1>0, y2>0, y3=0. Найдем y1 и y2 из системы:        0,2 1 0,1 2 230 0,1 1 0,2 2 250 y y y y         0,2 1 0,1 2 230 0,2 1 0,4 2 500 y y y y  0,3y2  270 , y2  900 , y1  700 (900,490)  10 700  7  900  7000  6300  13300 12. Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем три магазина. Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 т. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20, 15 и 25 т. Тарифы (в д.е. за 1 т) указаны в следующей таблице.