117 Балка, опертая в точках x=0 и x=l, находится в равновесии под действием сосредоточенной

117 Балка, опертая в точках x=0 и x=l, находится в равновесии под действием сосредоточенной (Решение → 77)

117 Балка, опертая в точках x=0 и x=l, находится в равновесии под действием сосредоточенной силы F, приложенной в точке x=c. Исследовать поперечные колебания, возникающие при внезапном прекращении действия силы.



117 Балка, опертая в точках x=0 и x=l, находится в равновесии под действием сосредоточенной (Решение → 77)

Постановка начально-краевой задачи для смещений средней линии балки u(x,t) имеет вид
ρS∂2u∂t2=-EJ∂4u∂x4,
∂2u∂t2=-a4∂4u∂x4, 0<x<l, t>0
(1)
где a4=EJ/ρS; E − модуль упругости; ρ − плотность материала балки; S − площадь поперечного сечения; J − момент инерции поперечного сечения.
С граничными условиями (свободно опертые края)
u0,t=0, ∂2u(0,t)∂x2=0, ul,t=0, ∂2u(l,t)∂x2=0,
(2)
и начальными условиями
ux,0=U(x), ∂ux,0∂t=0.
(3)
Начальная форма балки U(x), которую она имена под действием сосредоточенной силы F, является решением следующей стационарной задачи
0=-EJU4x+Fδx-c,
U4x=FEJδx-c,
(4)
U0=0, U''0=0, Ul=0, U''l=0,
(5)
где δx-c − дельта-функция Дирака.
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=-a4X4x∙Tt.
Разделим равенство на a4Xx∙T(t)
T''(t)a4T(t)=-X(4)(x)Xx=-λ=const, λ>0,
т.к



. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X4x-λXx=0,
T''t+a4λTt=0.
(4)
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, uxx0,t=X''0⋅Tt=0,
ul,t=Xl⋅Tt=0, uxxl,t=X''l⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X''0=0, Xl=0, X''l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу на собственные значения
X4x-λXx=0X0=0, X''0=0, Xl=0, X''l=0.
Корни характеристического многочлена будут
μ4-λ=0, ⟹ μ1,3=±i4λ, μ3,4=±4λ.
Общее решение имеет вид
Xx=Acos4λx+B sin4λx+Cch4λx+D sh4λx.
X''x=λ-Acos4λx-B sin4λx+Cch4λx+D sh4λx.
Неизвестные коэффициенты A, B, C, D найдем из граничных условий. Из условий на левом краю (x=0) имеем
X0=A+C=0X''0=λ-A+C=0 ⟹ A=0, C=0.
Тогда из условий на правом краю (x=l) получим
Xl=B sin4λl+D sh4λl=0X''l=λ-B sin4λl+D sh4λl=0,
B sin4λl+D sh4λl=0-B sin4λl+D sh4λl=0
Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, определитель матрицы системы должен равняться нулю
sin4λlsh4λl-sin4λlsh4λl=2sin4λlsh4λl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи
sin4λl=0,
4λl=πn, n=1,2,3,…
Собственные значения задачи равны
λn=πnl4, n=1,2,3,…
Поскольку собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя, систему собственных функций можно взять в виде
Xnx=sinπnxl, n=1,2,3,…
Уравнение (4) для функции Tt примет вид
Tn''(t)+aπnl4Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancosa2π2n2tl2+Bnsina2π2n2tl2.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде ряда по собственным функциям
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Ancosa2π2n2tl2+Bnsina2π2n2tl2sinπnxl,
utx,t=n=1∞a2π2n2l2-Ansina2π2n2tl2+Bncosa2π2n2tl2sinπnxl.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из начальных условий (3)
u(x,0)=n=1∞Ansinπnxl=U(x),
ut(x,0)=n=1∞a2π2n2l2Bnsinπnxl=0.
Учитывая, что собственные функции sinπnxln=1∞ образуют полную ортогональную систему, из второго начального условия следует, что
a2π2n2l2Bn=0, ⟹ Bn=0 для всех n=1,2,…
Из первого соотношения следует, что коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции U(x) в ряд Фурье по собственным функциям Xnx=sinπnxln=1∞
An=2l0lUxXnxdx=2lλn0lUxXn4xdx=
(Поскольку функция Ux принадлежит области определения эрмитова оператора L≡d4dx4)
=2lλn0lU4x=FEJδx-cXnxdx=согласно 4=2lλn0lFEJδx-cXnxdx=
=2FEJlλnXnc=2Fl3EJπ4n4sinπncl, n=1,2,3,…
Таким образом, решение ux,t исходной задачи (1) − (3) имеет вид
ux,t=n=1∞2Fl3EJπ4n4sinπnclcosa2π2n2tl2sinπnxl=
=2Fl3EJπ4n=1∞sinπncln4sina2π2n2tl2sinπnxl.
Ответ:
ux,t=2Fl3EJπ4n=1∞sinπncln4sina2π2n2tl2sinπnxl.