A=6;3;7, B=-5;-4;8, C=2;3;1, D=(4;1;-2) - вершины пирамиды ABCD а) Используя скалярное произведение векторов, найти угол

A=6;3;7, B=-5;-4;8, C=2;3;1, D=(4;1;-2) - вершины пирамиды ABCD а) Используя скалярное произведение векторов, найти угол ABC б) Используя векторное произведение векторов, найти площадь грани ABC в) Используя смешанное произведение векторов, найти объем пирамиды ABCD г) Написать уравнения: - плоскости ABC - прямой AB - перпендикуляра DK к грани ABC д) Используя формулу расстояния от точки до плоскости, вычислить длину высоты DK е) Вычислить двугранный угол между плоскостями ABC и BCD

Запишем координаты векторов:
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=-5-6;-4-3;8-7=(-11;-7;1)
BA=AB=(11;7;-1)
BC=xC-xB;yC-yB;zC-zB=2+5;3+4;1-8=(7;7;-7)
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=2-6;3-3;1-7=(-4;0;-6)
AD=xD-xA;yD-yA;zD-zA=4-6;1-3;-2-7=-2;-2;-9
угол ABC найдем, используя свойство скалярного произведения:
cosABC=BA∙BCBA∙BC=11∙7+7∙7+(-1)∙(-7)112+72+(-1)2∙72+72+(-7)2=133171∙147≈0,839
ABC=arccos(0,839)≈32,97°
площадь грани ABC, построенной на векторах AB,AC найдем, используя свойство векторного произведения:
S=12∙AB×AC
AB×AC=ijk-11-71-40-6=42i-4j-28k-66j=42i-70j-28k
AB×AC=422+(-70)2+(-28)2=7448=21862
S=1862 кв.ед
объем пирамиды ABCD, построенной на векторах AB,AC, AD найдем, используя свойство смешанного произведения:
V=16∙(AB×AC)∙AD
AB×AC∙AD=-11-71-40-6-2-2-9=-84+8+252+132=308
V=3086=1543 куб.ед
Уравнение плоскости ABC запишем по формуле:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0
x-6y-3z-7-5-6-4-38-72-63-31-7=0
x-6y-3z-7-11-71-40-6=0
Разложим определитель по первой строке:
42x-6-70y-3-28z-7=0
3x-6-5y-3-2z-7=0
3x-5y-2z+11=0
Вектор нормали к плоскости: n=(3;-5;-2)
Уравнение прямой AB запишем по формуле:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA
x-6-5-6=y-3-4-3=z-78-7 x-6-11=y-3-7=z-71
Вектор нормали к плоскости ABC является направляющим перпендикуляра DK к грани ABC