Автокорреляционная функция стационарного процесса xt имеет вид Rxτ=5e-5τ. Другой стационарный процесс определяется как yt=xt+bxt-0,1.

Автокорреляционная функция стационарного процесса xt имеет вид Rxτ=5e-5τ. Другой стационарный процесс определяется как yt=xt+bxt-0,1. a. Найдите значение b, при котором средний квадрат случайного процесса yt минимален. b. Найдите минимум среднего случайного процесса yt. c. Для b≤1 найдите максимальное значение среднего квадрата yt.

Возведем в квадрат стационарный процесс:
y2t=xt+bxt-0,12=x2t+2bxtxt-0,1+b2x2t-0,1
И найдем математическое ожидание:
My2t=Mx2t+2bxtxt-0,1+b2x2t-0,1=
=Mx2t+2bMxtxt-0,1+b2Mx2t-0,1
Первое и третье слагаемое находим как значение автокорреляционной функции при τ=0 (сдвиг во времени стационарного процесса на величину ∆t не повлечет изменение автокорреляционной функции), автокорреляционная функция второго слагаемого будет содержать в аргументе этот сдвиг ∆t, т.е.:
My2t=5+10e-1b+5b2
Перепишем найденное выражение в следующем виде:
My2t=51+2e-0,1b+b2=5b+e-0.12+1-e-0,2
Тогда минимальное значение среднего квадрата случайного процесса (при b=-e-0.1) равно Mminy2=51-e-0,2≈0,906, а максимальное для b≤1 будет равно (при b=1) Mmaxy2=101+e-0,1≈19,048