Дано: Пирамида ABCD, объем V, призма MNPM1N1P1, MPP1M1 вписана в ABC, M1P1 лежит на AB,

Дано: Пирамида ABCD, объем V, призма MNPM1N1P1, MPP1M1 вписана в ABC, M1P1 лежит на AB, вершина N лежит на CD, вершина N1 принадлежит пирамиде; Найти: Наибольший возможный объем призмы;

Т.к. NMP||ABD||M1P1N1, то боковые ребра, высота пирамиды разделены призмой в одном соотношении;
пусть DEDA=x; тогда DEEA=x1-x;
так же, если высота пирамиды равна H, то высота основания призмы равна H*1-x;
NN1 = x GC; пусть PN1NN1=y; тогда M1N1NN1=1-y;
Значит P1N1=y*N1N=xyGC;
M1N1=1-y*NN1=1-y*x GC;
Пусть угол M1N1P1=a, значит угол ADB=a, значит,
SM1P1N1=12P1N1*M1N1*sina=121-yx GC*xy GC*sina=x2y1-y2*GC2*sina;
В то же время, SABC=12sina*AD*BD=12sinayGC*1-yGC;
SM1P1N1=SABC*x2;
Найдем объем призмы:
Vпр=1-xH*x2SABC;
по формуле, Vпир=13SABC*H=V, →SABC*H=3V;
Vпр=x-1x2*3V=3Vx2(1-x);
V'пр= 3Vx2-x3'=3V*2x-3x2=3V*2x*1-3x;
точка х=13-точка максимума, значит Vпр13=3V*19*1-13=29V-наибольший
объем призмы.
Ответ: Vнаиб=29V.