Для балки из стали Ст4.(σиз=150 МПа), схема которой представлена на рис.1, подобрать поперечное сечение

Для балки из стали Ст4.(σиз=150 МПа), схема которой представлена на рис.1, подобрать поперечное сечение в нескольких вариантах исполнения: двутавровое, прямоугольное с отношением высоты к ширине h/b=1,5, круглое и трубчатое d/D=0,8. Варианты исполнения сопоставить по металлоемкости. Выполнить проверку прочности по касательным напряжениям. Дано: q=15 кН/м; M0=20 кНм; a=1,2 м;c=1,8 м. Рис.1.

Определение опорных реакций. Шарнирно-подвижная опора A накладывает одну связь, имеет одну реакцию RA. Шарнирно-неподвижная опора B накладывает две связи, имеет две составляющие реакции: горизонтальную и вертикальную. Согласно условию задачи в горизонтальном направлении нагрузки отсутствуют. Следовательно, горизонтальная реакция равна нулю, поэтому нет необходимости в ее изображении.
MA=0; -M0+RB∙a-q∙c∙c2+a=0;
Откуда
RB=M0+q∙c∙c2+aa=20+15∙1,8∙2,11,2=63,9 кН;
MB=0; -M0-RA∙a-q∙c∙c2=0;
Откуда
RA=-M0-q∙c∙c2a=-20-15∙1,8∙0,91,2=-36,9 кН.
Проверка найденных реакций:
y=0; -RA+RB-qc=0;
-36,9+63,9-15∙1,8=0.
Реакции найдены верно.
Фактическое направление опорной реакции RA обратно показанному на рис.2, а, так как значения реакции оказались со знаком минус.
2.Определение внутренних усилий.
Удобно на первом участке рассматривать равновесие левой, а на втором – правой отсеченной части балки.
I участок: 0≤x≤a;
Q(x)=-RA=-36,9 кН-величина постоянная;
M(x)=M0-RAx-уравнение прямой линии;
Mx=0=M0=20 кНм;
Mx=a=M0-RAa=20-36,9∙1,2=-24,3 кНм;
II участок: 0≤x≤c;
Q(x)=qx-уравнение прямой линии;
Qx=0=0;
Qx=c=qc=15∙1,8=27 кН;
M(x)=-qx∙x2-уравнение параболы;
Mx=0=0;
Mx=c=-qc∙c2=-15∙1,8∙0,9=-24,3 кНм.
Строим эпюры Q и M (рис

. 2, б и в) и выполняем проверку правильности их построения:
− на участках, свободных от распределенной нагрузки, эпюра Q параллельна базисной линии, а эпюра моментов – наклонная прямая;
на участках, где равномерная распределенная нагрузка действует, эпюра Q – наклонная прямая, а эпюра моментов ограничена параболой, выпуклость которой совпадает с направлением распределенной нагрузки;
−на участках, где Q отрицательна, значения М убывают;
в сечениях, где приложены сосредоточенные силы (в конкретном случае реакции в опорах), на эпюре Q скачки в направлении этих сил и на их величину, а на эпюре М – изломы в направлении действия этих сил;
− в том сечении, где приложен момент на эпюре М ему соответствует скачок на величину приложенного момента и в направлении его действия.
Из эпюры моментов следует, что опасным является крайнее правое сечение, где момент принимает значение Mmax = 24,3 кН∙м.
3.Проектный расчет. Из условия прочности при изгибе находим требуемое значение момента сопротивления, ориентируясь на рекомендуемые значения допускаемого напряжения σиз=150 МПа.
σmax=MmaxWz≤σиз=>Wz≥Mmaxσиз=24,3∙103150∙106=16,2∙10-5 м3.
Форма сечения Момент сопротивления Размер
Двутавр
Wz≥235 см3 по табл