Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах: x=f1t, y=f2(t) Требуется - определить уравнение траектории и

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах: x=f1t, y=f2(t) Требуется - определить уравнение траектории и установить вид траектории: - найти положение точки на траектории в момент времени t1=t1.= 1с: - найти скорость точки в момент времени t1. - найти полное, касательное и нормальное ускорения. - найти радиус кривизны траектории в момент времени t1. Дано: х = 2 +2 cos πt/4 (1);у = 4 cos πt/4 (2); t1 = 1 с

1. Находим уравнение траектории.
Для этого из заданных параметрических уравнений движения исключим параметр t
Из (2) cos πt/4 = у/4, подставив значение cos πt/4 в (1), получим
х = 2 +2 у/4 =2 + 0,5 у, или
у = 2х - 4(3)
Уравнение (3) является уравнением прямой линии. Таким образом траектория движения точки представляет собой прямую линию (рис.2).
. Определяем положение точки в момент времени t1 = 1
Положение точки в момент времени t1 определяем по уравнениям (1 и (2)При t = t1 = 1
Положение точки в момент времени t1 = 1 показано на рис. 2.
х(1) = 2 + 2 cos π/4 = 2 + 2*0,707 = 3,414 м;
у(1) = 4 cos π/4 = 4 * 0,707 = 2,828 м;
12039602540000
Рис. 2. Траектория движения точки
Таким образом в момент времени t1 = 1 положение точки соответствует точке M1 на рис

. 2.
3. Определяем скорость точки в момент времени t1 = 1Составляющая скорости по оси хVx = dx/dt = d(2 +2 cos πt/4)dt = 2(-sin πt/4) * π/4 = -π/2 * sin πt/4.
в момент времени t1 = 1с Vx = -π/2 *sin π/4) =- 1,11 м/с; Составляющая скорости по оси у
vу = dу/dt = d(4 cos πt/4)dt = -4 * sin πt/4 * π/4 = -πsin πt/4;
в момент времени t1 = 1
vу(1) = -π sin π/4 =-2,2 м/с.
Полная скорость точки
v= vx2+ vy2 = = 2,48 м/с
Вектор скорости точки в момент времени t1 направлен по прямой АМ от точки М к точке А и показан на рис. 2
3. Определяем ускорение точки в момент времени t1 = 1c
Составляющая ускорения по оси х
а x = dvx /dt = d(-π/2 *sin πt/4)dt = -π/2 cos πt/4 * π/4 = -π2/8 cos πt/4;
в момент времени t1 = 1с,
а x (1) = -π2/8 cos π/4; =-0,871 м/с2;
Составляющая ускорения по оси у
ау = dVу/dt = d(-πsin πt/4)dt = -π2/4cos πt/4;
в момент времени t1 = 1
ау(1) = -π2/4cos π*1/4 = -1,74 м/с2;
Полное ускорение точки
а= aх2+ ae2 = = 1.95 м/с2
Вектор полного ускорения точки в момент времени t1 направлен по прямой МА по направлению скорости.
Так как точка М движется по прямолинейной траектории, то нормальное ускорение равно нулю и полное ускорение точки равно касательному ускорению