EQ \a(lim;x→0) \f(sin(x)·(e2·x-ex);cos(x)-cos(5·x))

EQ \a(lim;x→0) \f(sin(x)·(e2·x-ex);cos(x)-cos(5·x))

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.
Для нашего примера:
EQ \a(lim;x→0) \f(sin(x)·(e2·x-ex);cos(x)-cos(5·x)) = \f(0;0)
Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
EQ \a(lim;x→a) \f(fʹ(x);gʹ(x))
Для нашего примера:
f(x) = sin(x)·(e2·x-ex)
g(x) = cos(x)-cos(5·x)
Находим производные
f'(x) = (e2*x-ex)*cos(x)+(2*e2*x-ex)*sin(x)
g'(x) = -sin(x)+5*sin(5*x)
EQ \a(lim;x→0) \f((e2·x-ex)·cos(x)+(2·e2·x-ex)·sin(x);-sin(x)+5·sin(5·x)) = EQ \f(0;0)
Упростим выражение
EQ \a(lim;x→0) \f(((1-2·ex)·sin(x)+(1-ex)·cos(x))·ex;sin(x)-5·sin(5·x))
Теперь новые функции f(x) и g(x) можно записать как:
f(x) = ((1-2·ex)·sin(x)+(1-ex)·cos(x))·ex
g(x) = sin(x)-5·sin(5·x)
Находим производные
f'(x) = ((1-2*ex)*sin(x)+(1-ex)*cos(x))*ex+((1-2*ex)*cos(x)-(1-ex)*sin(x)-2*ex*sin(x)-ex*cos(x))*ex
g'(x) = cos(x)-25*cos(5*x)
EQ \a(lim;x→0) \f(((1-2·ex)·sin(x)+(1-ex)·cos(x))·ex+((1-2·ex)·cos(x)-(1-ex)·sin(x)-2·ex·sin(x)-ex·cos(x))·ex;cos(x)-25·cos(5·x)) = EQ \f(-2;-24) = 1/12

Ответ: 1/12