D9x2y2+25x4y4dxdy; D:x=1, y=x3, y=-3x Изобразим область интегрирования D на чертеже: 339090342900035013902139315 0 Выберем следующий порядок обхода области: -3x≤y≤x3

D9x2y2+25x4y4dxdy; D:x=1, y=x3, y=-3x Изобразим область интегрирования D на чертеже: 339090342900035013902139315 0 Выберем следующий порядок обхода области: -3x≤y≤x3 0≤x≤1 D9x2y2+25x4y4dxdy =01dx-3xx39x2y2+25x4y4dy= =01dx3x2y3+5x4y5x3-3x=013x2(x3)3+5x4(x3)5-3x2-3x3+5x4-3x5dx= =013x11+5x19--3x3-5x173dx=013x11+5x19+3x3+5x173dx= =3x1212+5x2020+3x44+5x20320310 =x124+x204+3x44+3x203410 = =141+1+3+3=2 9 . Вычислить: x2+4y2dxdydz; V: z=202x+y, z=0, y+x=1, y=0, x=0

Изобразим область интегрирования V :
977265508000Z
9772652857500145351529622750097726529622750040
14535152527300097726525273000145351525273000
977265257810009772652578100021202652578100020
9772655715002120265571500977265571500 1 Y
y=1-x
1
X
Проекция области на плоскость Х0У ограничена прямыми х=0 (ось у), у=0 (ось х) и
у=1-х.
область снизу ограничена плоскостью z=0, а сверху плоскость z=20(2x+y).
Следовательно порядок обхода области:
0≤z≤20(2x+y) ; 0≤y≤1-x; 0≤x≤1
x2+4y2dxdydz=01dx01-xdy020(2x+y)(x2+4y2)dz=
=01dx01-x(x2+4y2)dy020(2x+y)dz=01dx01-xx2+4y2dy(z)20(2x+y)0=
=2001dx01-xx2+4y2(2x+y)dy=2001dx01-x2x3+yx2+8xy2+4y3dy=
=2001dx2x3y+y2x22+8xy33+y41-x0 =
=20012x3(1-x)+(1-x)2x22+8x(1-x)33+(1-x)4dx=
=20012x3-2x4+x2-2x3+x42+8x-24x2+24x3-8x43+(1-x)4dx=
=20012x3-2x4+x2-2x3+x42+8x-24x2+24x3-8x43+1-4x+6x2-4x3+x4dx=
=20011-43x-32x2+5x3-196x4dx=20x-23x2-12x3+54x4-1930x510 =
=201-23-12+54-1930=20∙920=9
1 . Решить уравнение:
y'=ex+y
dydx=ex∙ey имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными.
Разделим переменные и проинтегрируем:
dyey=exdx
dyey=exdx; e-ydy=exdx
-e-yd(-y)=exdx
-e-y=ex-C
e-y=C-ex
Логарифмируем: ln⁡(e-y)=ln⁡(C-ex)
-y=ln⁡(C-ex)
y=-lnC-ex=ln1C-ex
1 . Решить уравнение:
xy'=y+xtgyx (1)
Поделим уравнение (1) на х:
y'=yx+tgyx (2) однородное уравнение
Вводим yx=u (3); y=ux; y'=u'x+u
Подставим (3) в (2):
u'x+u=u+tgu, u'x=tgu
xdudx=tgu
Разделим переменные:
dutgu=dxx => cosu dusinu=dxx
Проинтегрируем:
cosu dusinu=dxx
Интеграл стоящий с левой стороны будем интегрировать по методу подведения под знак дифференциала:
d(sinu)sinu=lnx => lnsinu=lnx+lnC
lnsinu=lnCx
sinu=Cx (3)
Делаем обратную подстановку:
sinyx=Cx
3

. найдите частное решение уравнения:
y'-y ctgx=2x sinx (1)
Удовлетворяющее yπ2=1
Уравнение (1) является линейным дифференциальным уравнением.
Вводим замену:
y=uv 2; y'=u'v+uv'
Подставляем (2) в (1):
u'v+uv'-uv ctgx=2x sinx
(u'-uctgx)v+uv'=2x sinx (3)
Пусть u'-uctgx=0
dudx=uctgx; duu=ctgx dx
duu=ctgx dx
lnu=cosxsinx dx=1sinx dsinx=ln⁡(sinx)=> u=sinx(4)
Подставим (4) в (3): sinx dvdx=2x sinx; dvdx=2x
dv=2xdx
v=x2+C
Согласно (2) получаем:
y=uv=sinxx2+C (5)
Для определения постоянной С подставим начальные
Условия в (5):
1=sinπ2π22+C=> C=1-π22
Окончательно:
y=sinxx2+1-π22
4 , Найдите частное решение уравнения:
y''-16y=4e4x (1)
Удовлетворяющее начальным 0 условиям у(0)=0, у’(0)=0,
Решение. Сначала решаем однородное уравнение:
y''-16y=0 (2)
Составляем характеристическое уравнение:
λ2-16=0; λ2=16; λ1,2=±4
Общее решение уравнения (2):
y0=C1e-4x+C2e4x
Частное решение уравнения (1) будем искать в виде:
y=Axe4x (3)
Найдем первую и вторую производные:
y'=Ae4x+4Axe4x=1+4xAe4x
y''=4Ae4x+41+4xAe4x=8+16xAe4x
Подставляем (3) и производные в (1):
8+16xAe4x-16Аxe4=4e4x
8Аe4x=4e4x; 8A=4; A=12
Следовательно: y=x2e4x
Общее решение уравнения (1):
у=y0+y=C1e-4x+C2e4x+x2e4x (4)
Продифференцируем (4):
y'=-4C1e-4x+4C2e4x+12e4x+2xe4x (5)
Для определения постоянных С1 и С2 подставим начальные условия в (4) и (5):
0=C1e0+C2e0+02e00=-4C1e0+4C2e0+12e0+2∙0∙e0
C1=-C20=-4C1+4C2+12 ; 8C2=-12; C2=-116; C1=116
Окончательно:
у=e-4x16-e4x16+x2e4x
5