Если угол между образующей и основанием равен 45 градусов, то высота Н конуса равна

Если угол между образующей и основанием равен 45 градусов, то высота Н конуса равна радиусу окружности его основания r. След секущей плоскости в основании - это хорда, отстоящая от центра на величину b. Длину её примем равной а. Проведём дополнительное осевое сечение перпендикулярно хорде а

В сечении - прямоугольный равнобедренный треугольник с острыми углами по 45 градусов, с катетами L, с основанием 2r.
Заданная секущая плоскость (это равнобедренный треугольник) рассечётся по высоте этого треугольника и с осью конуса образует прямоугольный треугольник с острыми углами в 60 градусов у основания и 30 градусов у оси.
Величина b равна:
b =rtg(60°) =r3=r33.
Отсюда находим длину хорды а:
а = 2r2- b2 = 2r2- r23 = 22r23 = 2r23.
Высота h треугольника сечения как гипотенуза в треугольнике с углом 30 градусов равна: h = 2b = 2r33.
Площадь S сечения как треугольника с основанием а и высотой h равна:
S = 12ah = 12*2r23*2r33=26r29.
Ответ: 26r29