Функция задана таблицей X 2 3 4 5 Y 7 5 8 7 б) Построить интерполяционные многочлены

Функция задана таблицей X 2 3 4 5 Y 7 5 8 7 б) Построить интерполяционные многочлены Ньютона второй степени для нахождения значений функции в точках x1*=2.5;x2*=3.5;x3*=4.5. Построить графики многочленов.

Составим таблицу конечных разностей:
∆yi=yi+1-yi; ∆2yi=∆yi+1-yi; ∆3yi=∆2yi+1-∆2yi
i
xi
yi
∆yi
∆2yi
∆3yi
0 2 7 -2 5 -9
1 3 5 3 -4
2 4 8 -1
3 5 7
Точка x1*=2.5 находится в начале рассматриваемого интервала, поэтому для нахождения значения в ней необходимо использовать первый полином Ньютона. Находим полином второй степени:
P2Ix=y0+∆y0hx-x0+∆2y02h2x-x0x-x1
Шаг h=1; x0=2; y0=7.
P2Ix=7+-21∙x-2+52x-2x-3=2.5x2-14.5x+26
P2I2.5=2.5∙2.52-14.5∙2.5+26=5.375
Точка x3*=4.5 находится в конце рассматриваемого интервала, поэтому для нахождения значения в ней необходимо использовать второй полином Ньютона . Находим полином второй степени:
P2IIx=y3+∆y2hx-x3+∆2y12h2x-x3x-x2
Шаг h=1; x3=5; y3=7.
P2IIx=7+-11∙x-5-42x-5x-4=-2x2+17x-28
P2I4.5=-2∙4.52+17∙4.5-28=8
Точка x3*=3.5 находится ровно посередине интервала [2;5], поэтому для нахождения значения в этой точке можно использовать как первый полином по узлам с 1-го по 3, так и второй по узлам с 0 по 2

. Находим полином второй степени:
P2IIx=y3+∆y2hx-x3+∆2y12h2x-x3x-x2
Шаг h=1; x3=5; y3=7.
P2IIx=7+-11∙x-5-42x-5x-4=-2x2+17x-28
P2I4.5=-2∙4.52+17∙4.5-28=8
Точка x3*=3.5 находится ровно посередине интервала [2;5], поэтому для нахождения значения в этой точке можно использовать как первый полином по узлам с 1-го по 3, так и второй по узлам с 0 по 2