Функция затрат монополистического конкурента имеет вид: ТС = Q3 – АQ2+ 91Q, а рыночного

Функция затрат монополистического конкурента имеет вид: ТС = Q3 – АQ2+ 91Q, а рыночного спроса: QD= 75 – 2Р. Определите: а) при каком значении переменной А фирма находится в состоянии долгосрочного равновесия; б) какой уровень цены и объема она при этом установит?

Условие равновесия в долгосрочном периоде на рынке монополистической конкуренции:
1) равенство средних издержек и цены: AC = P;
2) равенство предельных издержек и предельной выручки: МС = MR.
Средние издержки (АС) фирмы определим по формуле:
АС = TC/Q = (Q3 – АQ2+ 91Q)/Q = Q2 – AQ + 91
Цену находим как обратную функцию спроса:
P = 37,5 – 0,5Q
Первое равенство:
АС = Р; Q2 – AQ + 91 = 37,5 – 0,5Q
Предельные издержки находим как производную от общих издержек:
МС = (ТС)’= (Q3 – АQ2 + 91Q)’ = 3Q2 – 2А*Q + 91
Предельная выручка – это производная общей выручки:
MR = (TR)’= (P*Q)’= (37,5Q – 0,5Q2)’= 37,5 – Q
Второе равенство:
МС = MR; 3Q2 – 2А*Q + 91 = 37,5 – Q
Решим систему уравнений:
Q2 – AQ + 91 = 37,5 – 0,5Q
3Q2 – 2А*Q + 91 = 37,5 – Q
Q2 – 91 = - 37,5
Q2 = 53,5
Q = 7,3
Находим переменную А:
7,32 – A*7,3 + 91 = 37,5 – 0,5*7,3
А = 15,1
Цена долгосрочного равновесия:
P = 37,5 – 0,5*7,3 = 33,9 ден.ед.
Ответ: фирма будет находиться в долгосрочном равновесии при значении переменной А = 15,1; цена Р = 33,9 ден.ед.; объем производства при этом составит Q = 7,3 ед.