Имеется три вида ценных бумаг, для каждой из которых известна ее эффективность mi={20;30;50}, то

Имеется три вида ценных бумаг, для каждой из которых известна ее эффективность mi={20;30;50}, то есть средний ожидаемый доход на одну денежную единицу. Кроме того, задана матрица ковариаций ценных бумаг U=333354346 Требуется сформировать из этих ценных бумаг портфель с минимальным риском, имеющий заданную эффективность 32. Решить задачу графическим методом и методом множителей Лагранжа.

Запишем математическую модель данной задачи:
F=3x12+5x22+6x32+2∙3∙x1∙x2+2∙3∙x1∙x3+2∙4∙x2∙x3=3x12+5x22+6x32+6x1x2+6x1x3+8x2x3→min
20x1+30x2+50x3=32x1+x2+x3=1
x1≥0,x2≥,x3≥0
Построим в пространстве Ox1x2x3 две плоскости α и β, уравнения которых заданы в системе ограничений:
α:x1+x2+x3=1 β:20x1+30x2+50x3=32
1
1
1
𝑥3
𝑥2
𝑥1
32
20
32
30
32
50
𝐴
𝐵
1
1
1
𝑥3
𝑥2
𝑥1
32
20
32
30
32
50
𝐴
𝐵
Очевидно, что множеством допустим решений этой задачи является отрезок прямой 𝐴𝐵, лежащий в первом октанте (xi≥0), по которому пересекаются плоскости α и β.
Найдем координаты точек 𝐴 и 𝐵 как решения соответствующих систем линейных уравнений:
20x1+30x2+50x3=32x1+x2+x3=1 x2=0
20x1+30x2+50x3=32x1+x2+x3=1 x1=0
Получаем: A0,6;0;0,4 и B0;0,9;0,1.
Направляющий вектор прямой:
a=xA-xB;yA-yB;zA-zB=0,6-0;0-0,9;0,4-0,1=0,6;-0,9;0,3
Запишем параметрическое уравнение отрезка 𝐴𝐵 в координатах:
x1=xB+ax∙tx2=yB+ay∙tx3=zB+az∙t ⇒ x1=0,6t x2=0,9-0,9tx3=0,1+0,3t
Подставим эти выражения в целевую функцию:
F = 3∙0,6t2+5∙0,9-0,9t2+6∙0,1+0,3t2+6∙0,6t∙0,9-0,9t+6∙0,6t∙0,1+0,3t+8∙0,9-0,9∙t∙0,1+0,3t=1,35t2-2,7t+4,83
Найдем минимум этой функции на отрезке [0;1]:
F'=1,35∙2t-2,7
Приравнивая к нулю F'=0, получаем t=1