Используя метод Фурье, найти функцию u=u(x,t), являющуюся решением начально-краевой задачи для волнового уравнения: ∂2u∂t2=a2∂2u∂x2 с граничными

Используя метод Фурье, найти функцию u=u(x,t), являющуюся решением начально-краевой задачи для волнового уравнения: ∂2u∂t2=a2∂2u∂x2 с граничными условиями: ux=0=2t ux=l=0 и начальными условиями: ut=0=3x1-x ∂u∂tt=0=cos(x+0,5)

Решение задачи представим суммой ux,t=vx,t+wx,t, где функция wx,t удовлетворяет заданным краевым условиям. В качестве функции w(x,t) в данном случае удобно взять функцию:
wx,t=2tl-xl
Имеем:
wx=0=2t;wx=l=0
С учетом того, что:
wt=0=0; ∂w∂tt=0=2ll-x
∂2w∂t2=∂2w∂x2=0
Получили следующую задачу для функции vx,t=ux,t-w(x,t):
∂2v∂t2=a2∂2v∂x2
vx=0=vx=l=0
vt=0=3x1-x; ∂v∂tt=0=cosx+0,5-2ll-x
Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
v=vx,t=X(x)T(t)
При этом функция X(x) зависит только от x, а T(t) – только от t.
Подставляем в уравнение:
XxT''t=a2X''(x)T(t)
Разделяем переменные:
T''(t)a2Tt=X''(x)Xx
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа (обозначим λ):
T''(t)a2Tt=X''(x)Xx=λ
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T''t-a2λTt=0
Граничные условия X0Tt=0 и XlTt=0 дают X0=Xl=0, т.е

. ищем ненулевые решения уравнения X''x-λXx=0 - обыкновенного линейного дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассмотрим возможные случаи:
а) λ=0 Xx=c1x+c2
Условия X0=Xl=0 дают только тривиальное решение c1=c2=0, т.е. X(x)≡0, поэтому λ=0 отбрасываем.
б) λ>0 Xx=c1eλx+c2e-λx
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=Xl=0:
c1+c2=0c1elλ+c2e-lλ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
в) λ<0 Xx=c1cos-λx+c2sin-λx.
Пробуем удовлетворить краевым условиям X0=Xl=0:
c1cos0+c2sin0=0c1cosl-λ+c2sinl-λ=0
Получаем:
c1=0c2sinl-λ=0
Тогда:
c2sinl-λ=0 l-λ=πn λ=-π2n2l2
Т.е. получили собственные функции вида:
X=c2sinπnlx
Возвращаемся к уравнению T''t-a2λTt=0
Его характеристическое уравнение примет вид:
k2+a2π2n2l2=0 k=±πnali
И общее решение:
Tt=c3cosπnalt+c4sinπnalt
Получили, что функции (берем cn=1, т.к