Используя разложение функций в ряд Маклорена: 1) найти приближенное значение определенного интеграла по первым

Используя разложение функций в ряд Маклорена: 1) найти приближенное значение определенного интеграла по первым четырем отличным от нуля членам его разложения в степенной ряд; 2) найти четыре первых отличных от нуля члена степенного ряда, определяющего частное решение y = y(x) дифференциального уравнения y = – 0,25y2 удовлетворяющее начальному условию y(0) = 4.

1) Находим приближенное значение определенного интеграла .
Выполняем разложение функции sin x в ряд Маклорена по степеням аргумента.
sin x = х – + – + … + (–1)n· + …, п = 0, 1, 2,…; x (–∞; + ∞).
Заменяем в выше приведенном разложении функции sin x переменную х на :
sin x2 = x2 – + – + … + (–1)n· + …, п = 0, 1, 2,…; x (–∞; + ∞)
Интегрируем полученный степенной ряд почленно:
= – · + · – · – … =
(·x3 –·x7 + ·x11 – ·x15 + …) = – + – + …
Таким образом, получаем приближенное значение интеграла по четырем первым отличным от нуля членам степенного ряда:
0,33333 – 0,023809 + 0,00075 – 0,000013 = 0,3102607.
2) Находим первые четыре члена разложения в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения y = – 0,25·y2, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 4.
Поскольку в начальном условии x0 = 0, то будем искать решение в виде ряда Маклорена: у(х) = у(0) + у (0)·х + ·х2 + ·х3 + …
Из начального условия определяем: у(0) = 4, из исходного уравнения:
у (0) = –0,25·y(0)2 = – 0,25·8 = -2