Используя разложения (3) – (7) доказать, что: eax=n=0∞eαx0ann!x-x0n, x∈R;

Используя разложения (3) – (7) доказать, что: eax=n=0∞eαx0ann!x-x0n, x∈R;

Разложение функции ex в ряд ex=n=0∞xnn! сходится для всех x∈(-∞;+∞). Заменим в этой формуле переменную x на ax-x0, определённую на всей числовой оси. eax-x0=n=0∞ax-x0nn! Выполним равносильные преобразования eax-x0=eax-ax0=eax∙e-ax0 eax∙e-ax0=n=0∞anx-x0nn! eax=eax0n=0∞anx-x0nn! eax0=const внесем постоянный множитель за знак суммы eax=n=0∞eax0ann!x-x0n Что и требовалось доказать.

.
eax-x0=n=0∞ax-x0nn!
Выполним равносильные преобразования
eax-x0=eax-ax0=eax∙e-ax0
eax∙e-ax0=n=0∞anx-x0nn!
eax=eax0n=0∞anx-x0nn! eax0=const внесем постоянный множитель за знак суммы
eax=n=0∞eax0ann!x-x0n
Что и требовалось доказать.