Изделие состоит из двух элементов, менее надежный элемент дублирован путем замещения при ненагруженном состоянии. 3

Изделие состоит из двух элементов, менее надежный элемент дублирован путем замещения при ненагруженном состоянии резерва. Средняя наработка до первого отказа элементов равны TО.1=100 ч, TО.2=200 ч. Найти среднюю наработку до первого отказа изделия, если справедлив экспоненциальный закон надежности.

Запишем для интенсивностей отказов:
λ1=1TО.1; λ1=1100=0,01 ч-1;
λ2=1TО.2; λ2=1200=0,005 ч-1.
Первый элемент с интенсивностью отказов λ1=0,01 ч-1 менее надежен, дублируем его путем замещения при ненагруженном резерве. Формула вероятности безотказной работы после дублирования:
Pt=e-λ0ti=0mλ0tii!, m=1.
P1t=e-λ1t1+λ1t=e-0,01 t1+0,01 t.
Вероятности безотказной работы для второго элемента (экспоненциальный закон распределения):
P2t=e-λ2t; P2t=e-0,005t.
Вероятность безотказной работы системы вычисляется как произведение вероятностей безотказной работы ее элементов (при последовательном соединении):
PCt=P1t∙P2t=e-λ1 t1+λ1 t∙e-λ2t.
Тогда вычислим среднюю наработку до отказа всей системы через интеграл от PCt:
TО.C=0∞PCtdt=0∞e-λ1t1+λ1te-λ2tdt=0∞e-0,01t1+0,01te-0,005tdt.
Вычислим интеграл по частям.
udv=uv-vdu.
u=1+0,01t; v=e-0,015tdt; du=0,01dt; v= -66,6667e-0,015t.
e-0,01t1+0,01te-0,005tdt=-0,6667t+66,6667e-0,015t+0,6667e-0,015tdt=
=-0,6667t+66,6667e-0,015t-44,4444e-0,015t+C.
При подстановке пределов интегрирования получим:
0∞e-0,01t1+0,01te-0,005tdt=111,11.
Итак, средняя наработка до отказа TО.C=111,11 ч.