Найдите решение задачи симплексным методом, проиллюстрировав его графически. Составьте задачу и, на основании теорем

Найдите решение задачи симплексным методом, проиллюстрировав его графически. Составьте задачу и, на основании теорем двойственности, сделайте вывод о ее решении. F=3x1+2x2→max x1+2x2≤12;3x1+2x2≤24; x1≥0; x2≥0.

Решим задачу симплекс-методом. Для этого приведем задачу к каноническому виду
F=3x1+2x2→max
x1+2x2+x3=12;3x1+2x2+x4=24;
x1≥0; x2≥0; x3≥0; x4≥0.
Внесём данные задачи в симплекс-таблицу.
План Базис Сб
bi
3 2 0 0 di
x1
x2
x3
x4
I
x3
0 12 1 2 1 0 121=12
x4
0 24 3 2 0 1 243=8 ←
F
= 0 -3 ↑
-2 0 0
Базисное решение получаем в виде X=(x1, x2, x3, x4) при свободных переменных равных нулю, а базисных – равных соответствующим свободным членам bi.
Таким образом, базисным решением на первом шаге будет X1=0; 0; 12; 24 (точка X1=0; 0 на рисунке), на котором целевая функция будет F равна 0, то есть F1=0.
Получаем вторую симплекс-таблицу, соответствующую II плану:
План Базис Сб
bi
3 2 0 0 di
x1
x2
x3
x4
II
x3
0 4 0 43
1 -13
4:43=3 ←
x1
3 8 1 23
0 13
8:23=12
F
= 24 0 0 ↑
0 1
Базисным решением на втором шаге будет X2=8;0;4;0 (точка X2=8; 0 на рисунке), на котором целевая функция будет F равна 24, то есть F2=24.
Получаем третью симплекс-таблицу, соответствующую III плану:
План Базис Сб
bi
3 2 0 0
x1
x2
x3
x4
III
x2
2 3 0 1 34
-14
x1
3 6 1 0 -12
13
F
= 24 0 0 0 1
Базисным решением на третьем шаге будет X3=6;3;0;0 (точка X2=6; 3 на рисунке), на котором целевая функция будет F равна 24, то есть F3=24.
Общее решение запишем в виде линейной комбинации оптимальных базисных решений X2* и X2*
X*=αX2*+1-αX3*=α8;0;4;0+1-α6;3;0;0=
=8α;0;4α;0+6-6α;3-3α;0;0=6+2α;3-3α;4α;0
Таким образом, X*=6+2α;3-3α;4α;0, 0≤α≤1, Fmax=24.
Проиллюстрируем графически процесс решения.
Составим двойственную задачу