Найти эффективный (средний) потенциал, действующий на заряженную частицу, пролетающую сквозь невозбужденный атом водорода (пренебрегая

Найти эффективный (средний) потенциал, действующий на заряженную частицу, пролетающую сквозь невозбужденный атом водорода (пренебрегая его поляризацией). Получить предельные значения для больших и малых расстояний частицы от атома. Дано: H

Искомый потенциал представляет электростатический потенциал системы φ(r), характеризуемый объемной плотностью заряда вида:
ρr=eδr-eψ0r2,#1
где ψ0 – волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода. Первое слагаемое в (1) описывает плотность заряда связанную с наличием протона, второе представляет объемную плотность заряда электронного облака.
φ(r)=?
φr=?при r→∞
φr=?при r→0
В.ф . ψ0 основного состояния водорода:
ψ0r=1πa3e-ra, a=ℏ2Ze2μ,#2
В нашем случае Z=1 (заряд атома водорода).
Для того, чтобы найти φ(r) воспользуемся общим решением уравнения Пуассона:
φr=ρr'r-r'dr'=er-eψ0r'2r-r'dr',#3
где
1r-r'=1ri=0∞Plcosθr'rl, r'<r 1ri=0∞Plcosθrr'l, r>r,#4
где Pl – полином Лежандра; θ – угол между векторами r и r'

. ψ0 основного состояния водорода:
ψ0r=1πa3e-ra, a=ℏ2Ze2μ,#2
В нашем случае Z=1 (заряд атома водорода).
Для того, чтобы найти φ(r) воспользуемся общим решением уравнения Пуассона:
φr=ρr'r-r'dr'=er-eψ0r'2r-r'dr',#3
где
1r-r'=1ri=0∞Plcosθr'rl, r'<r 1ri=0∞Plcosθrr'l, r>r,#4
где Pl – полином Лежандра; θ – угол между векторами r и r'