Найти электростатическое поле внутри области, ограниченной плоскими проводящими пластинами y=0, y=b, x=0, если пластина

Найти электростатическое поле внутри области, ограниченной плоскими проводящими пластинами y=0, y=b, x=0, если пластина x=0 заряжена до потенциала V, а пластины y=0 и y=b заземлены. Заряды внутри рассматриваемой области отсутствуют.

Распределения потенциала ux,y является решением следующей краевой задачи для уравнения Лапласа
∆u≡uxx+uyy=0, 0≤y≤b, 0≤x≤+∞,
(1)
при граничных условиях
ux,0=0, ux,b=0,
(2)
u0,y=V.
(3)
Кроме того, по физическому смыслу задачи, решение должно быть ограниченным
ux,y<∞, 0≤x≤+∞.
(4)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,y=XxYy.
Подставляем в уравнение (1)
X''xYy+XxY''y=0.
Разделим равенство на XxY(y)
X''(x)X(x)+Y''yY(y)=0,
-X''(x)X(x)=Y''yY(y)=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от y.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных уравнения
X''x-λXx=0,
(5)
Y''y+λYy=0.
(6)
Подставляя ux,y в виде XxYy в однородные граничные условия (2), получим
X(x)Y0=X(x)Yb=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
Y0=Yb=0.
Таким образом, для функции Y(y) получили задачу Штурма-Лиувилля
Y''y+λYy=0Y(0)=0, Yb=0
Общее решение такой задачи имеет вид
Yy=C1cosλy+C2 sinλy,
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
Y0=C1=0, Yb=C2sinλb=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλb=0
λb=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πkb2, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Yky=sinπkyb, k=1,2,…
Уравнение (5) для функции X(x) примет вид
Xk''x-πkb2Xkx=0,
Общее решение уравнения имеет вид
Xkx=Ake-πkxb+Bkeπkxb, k=1,2,…
Учитывая условие ограниченности (4), следует положить Bk=0, т.к