Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y=0, y=x25, 5x+6y-55=0.

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями: y=0, y=x25, 5x+6y-55=0.

Найдем точки пересечения линий:
y=0y=x25⇒0,0;
y=05x+6y-55=0⇒11,0;
y=x255x+6y-55=0⇒5x+6∙x25-55=0⇔x2+256x-2756=0⇒
x1,2=-256±25262+2∙25∙1132=-256±52536+2232=
=-256±5289362=-256±8562⇒x1=-556, x2=5⇒
y1=60536,y2=5⇒-556,60536, 5,5.
Искомый объем найдем по формуле:
V=πabfx2dx.
Так как верхняя граница фигуры состоит из графиков разных функций, то используем формулу:
V=πabfx2dx+πbcgx2dx.
В нашем случае: a=0, b=5,c=11; fx=x25, gx=-56x+556.
V=π05x252dx+π511-56x+5562dx=
=π2505x4dx+25π36511-x+112dx=
=π25x5505+25π36x-1133511=25π-25π36∙-633=
=25π+50π=75π.
Ответ: 75π.