Найти плотность распределения случайной величины η=ξ1ξ1+ξ2, если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и

Найти плотность распределения случайной величины η=ξ1ξ1+ξ2, если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и равномерно распрределены на отрезке 0;1.

По условию задачи ξ1 и ξ2 независимые случайные величины. Будем считать ξ1; ξ2 координатой точки, брошенной наудачу в единичный квадрат. Тогда функция распределения Fξ1+ ξ2=Pξ1+ ξ2<x равна площади области внутри квадрата под прямой ξ1+ ξ2=x . На рисунке данная область - заштрихованный треугольник при 0<x≤1, и пятиугольник при 1<x≤2. Окончательно получаем:
635463550012585704953000
Fξ1+ ξ2x=0,x∉0;2x22,0<x≤1 1-2-x22,1<x≤2⇒
pξ1+ ξ2x=F'ξ1+ ξ2x=0,x∉0;2x,0<x≤1 2-x,1<x≤2.
Далее найдем плотность распределения частного двух независимых величин:
pξ1x=0,x∉0;11 и pξ1+ ξ2x=0,x∉0;2x,0<x≤1 2-x,1<x≤2
Функция распределения:
Fξ1ξ1+ξ2=Pξ1z<x=Dξ1uzvdudv, где D-множество точек
u,v, для которых ξ1z<x.
Fξ1ξ1+ξ2=Pξ1z<x=010ux1∙vdvdu=01ux22du=u3x2610=x26.
pηx=F'ξ1ξ1+ξ2=0,x∉0;1x3.
Ответ

. На рисунке данная область - заштрихованный треугольник при 0<x≤1, и пятиугольник при 1<x≤2. Окончательно получаем:
635463550012585704953000
Fξ1+ ξ2x=0,x∉0;2x22,0<x≤1 1-2-x22,1<x≤2⇒
pξ1+ ξ2x=F'ξ1+ ξ2x=0,x∉0;2x,0<x≤1 2-x,1<x≤2.
Далее найдем плотность распределения частного двух независимых величин:
pξ1x=0,x∉0;11 и pξ1+ ξ2x=0,x∉0;2x,0<x≤1 2-x,1<x≤2
Функция распределения:
Fξ1ξ1+ξ2=Pξ1z<x=Dξ1uzvdudv, где D-множество точек
u,v, для которых ξ1z<x.
Fξ1ξ1+ξ2=Pξ1z<x=010ux1∙vdvdu=01ux22du=u3x2610=x26.
pηx=F'ξ1ξ1+ξ2=0,x∉0;1x3.
Ответ