Нарисовать профиль полуограниченной струны (x≥0) (уравнение колебаний utt=a2uxx) в моменты времени t=1a,2a,3a,4a для данного. 3

Нарисовать профиль полуограниченной струны (x≥0) (уравнение колебаний utt=a2uxx) в моменты времени t=1a,2a,3a,4a для данного начального профиля φ(x) и начальной скорости ψ(x): φx=-x при x∈0;1, φx=x-2 при x∈(1;3], φx=4-x при x∈(3;4], φx=0 при x∈(4;+∞); ψx=0; конец струны свободный.

Имеем следующую задачу Коши
utt=a2uxx, x>0, t>0,
uxx=0=0, t>0,
ut=0=φx=-x при x∈0;1,x-2 при x∈1;3,4-x при x∈3;4,0 при x∈4;+∞. utt=0=ψx=0
Поскольку граничное условие при x=0 второго рода (задано нулевое значение производной функции), то продолжим начальные условия четным образом на всю ось -∞<x<∞, т.е. рассмотрим следующую постановку задачи
utt=a2uxx, -∞<x<∞, t>0,
ux,0=Φx=0, utx,0=Ψx=0, -∞<x<∞,
где
Φx=φx, x>0φ-x, x<0
Рис . 1
Воспользуемся формулой Даламбера для решения волнового уравнения на прямой -∞<x<∞,
ux,t=12Φx+at+Φx-at+12ax-atx+atΨsds.
В нашем случае, Ψx=0, поэтому решение будет
ux,t=12Φx+at+Φx-at
Если x-at>0 at<x, то
ux,t=12Φx+at+Φx-at=12φx+at+φx-at.
Если x-at<0 at>x, то
ux,t=12Φx+at+Φx-at=12φx+at+φat-x.
Таким образом,
ux,t=12φx+at+φx-at, x>0, at<x12φx+at+φat-x, x>0, at>x
Графики формы струны в моменты времени t=0, t=1a, t=2a, t=3a, t=4a представлена на рис.2

. 1
Воспользуемся формулой Даламбера для решения волнового уравнения на прямой -∞<x<∞,
ux,t=12Φx+at+Φx-at+12ax-atx+atΨsds.
В нашем случае, Ψx=0, поэтому решение будет
ux,t=12Φx+at+Φx-at
Если x-at>0 at<x, то
ux,t=12Φx+at+Φx-at=12φx+at+φx-at.
Если x-at<0 at>x, то
ux,t=12Φx+at+Φx-at=12φx+at+φat-x.
Таким образом,
ux,t=12φx+at+φx-at, x>0, at<x12φx+at+φat-x, x>0, at>x
Графики формы струны в моменты времени t=0, t=1a, t=2a, t=3a, t=4a представлена на рис.2