Определить постоянную времени T и коэффициент передачи одноёмкостного статического объекта, передаточная функция которого имеет

Определить постоянную времени T и коэффициент передачи одноёмкостного статического объекта, передаточная функция которого имеет вид, wр=КТр+1, если модуль и аргумент амплитудно-фазовой характеристики при частоте ω=10с-1 соответственно равны А(ω)=5, φ(ω) = -45o.

Исходная передаточная функция (ПФ):
Для расчёта частотных характеристик перейдём к комплексной частотной характеристике, произведя замену оператора Лапласа p→i·ω, где i – мнимая единица; ω – частота:
Избавимся от мнимой составляющей в знаменателе, домножив числитель и знаменатель КЧХ на комплексно-сопряжённый знаменателю полином:
Данное выражение КЧХ можно представить в виде: , где U(ω) и V(ω) – действительная и мнимая составляющие КЧХ соответственно . Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Выражения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазовой частотной (ФЧХ) характеристик:
Из условия, мы знаем выражения АЧХ и ФЧХ на частоте ω = 10.
A(10) = 5; φ(10) = -45.
Перепишем с учётом этого выражения АЧХ и ФЧХ:
Из выражения ФЧХ (зная, что тангенс -45º равен -1), определяем, что постоянная времени звена Т = 0,1.
Подставляем значение Т = 0,1 в формулу для расчёта АЧХ и определяем коэффициент передачи звена K:
Таким образом, ПФ исследуемого звена:

. Выделяем действительную и мнимую составляющую:
Выражения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазовой частотной (ФЧХ) характеристик:
Из условия, мы знаем выражения АЧХ и ФЧХ на частоте ω = 10.
A(10) = 5; φ(10) = -45.
Перепишем с учётом этого выражения АЧХ и ФЧХ:
Из выражения ФЧХ (зная, что тангенс -45º равен -1), определяем, что постоянная времени звена Т = 0,1.
Подставляем значение Т = 0,1 в формулу для расчёта АЧХ и определяем коэффициент передачи звена K:
Таким образом, ПФ исследуемого звена: