Определить тип уравнения в точках M и N. Найти и построить параболическую линию уравнения.

Определить тип уравнения в точках M и N. Найти и построить параболическую линию уравнения. Указать область, в которой уравнение имеет гиперболический тип x∂2u∂x2-2y∂2u∂x∂y+∂2u∂y2+3x∂u∂x+4y∂u∂y+2u=0, M1, 0, N2, 4.

Учитывая область определения функций x, y уравнение надо рассматривать в области x≥0, y≥0.
Исходя из общего вида уравнения второго порядка
auxx+2buxy+cuyy+Fx,y,u,ux,uy=0,
в нашем случае коэффициенты при вторых производных равны:
a=x, b=-y, c=1.
Вычислим
D(x,y)=b2-ac=-y2-x∙1=y-x.
Тип уравнения определяется знаком величины D . Возможны три случая:
1) Если D=0, тогда
y-x=0.
Линия параболичности имеет вид
x,y : y=x .
Схематически она изображена на рисунке.
2) Если D>0, тогда
y-x>0.
Область гиперболичности имеет вид
x,y : y>x .
3) Если D<0, тогда
y-x<0.
Область эллиптичности имеет вид
x,y : y<x .
В точке M1, 0
D1, 0=0-1=-1<0.
Следовательно, в точке M уравнение имеет эллиптический тип.
В точке N2, 4
D2, 4=4-2>0.
Следовательно, в точке N уравнение имеет гиперболический тип.

. Возможны три случая:
1) Если D=0, тогда
y-x=0.
Линия параболичности имеет вид
x,y : y=x .
Схематически она изображена на рисунке.
2) Если D>0, тогда
y-x>0.
Область гиперболичности имеет вид
x,y : y>x .
3) Если D<0, тогда
y-x<0.
Область эллиптичности имеет вид
x,y : y<x .
В точке M1, 0
D1, 0=0-1=-1<0.
Следовательно, в точке M уравнение имеет эллиптический тип.
В точке N2, 4
D2, 4=4-2>0.
Следовательно, в точке N уравнение имеет гиперболический тип.