Определить тип дифференциального уравнения и решить его (задачу Коши) xy''=y'+xsiny'x

Определить тип дифференциального уравнения и решить его (задачу Коши) xy''=y'+xsiny'x

Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Так как в уравнение явно не входит функция y, то выполним замену:
y'=z => y''=z'
xz'=z+xsinzx
Это однородное уравнение . Выполним замену:
z=tx z'=t'x+t
xt'x+t=tx+xsint
t'x+t=t+sint
dtdxx=sint dtsint=dxx
Интегрируем обе части уравнения:
dtsint=lntg t2 dxx=lnx+lnC1
lntg t2 =lnx+lnC1 => tg t2=C1x t2=arctg C1x t=2arctg C1x
zx=2arctg C1x z=2x∙arctg C1x
y'=z => y=2x∙arctg C1xdx
Применим формулу интегрирования по частям:
u=arctg C1x dv=2xdx
du=C11+C12x2dx v=x2
2x∙arctg C1xdx=x2∙arctg C1x-C1x21+C12x2dx=
=x2∙arctg C1x-1C1C12x2+1-11+C12x2dx=x2∙arctg C1x-1C1dx+1C1dx1+C12x2=
=x2∙arctg C1x-xC1+1C12d(C1x)1+C12x2=x2∙arctg C1x-xC1+1C12∙arctg C1x+C2=
=x2+1C12∙arctg C1x-xC1+C2

. Выполним замену:
z=tx z'=t'x+t
xt'x+t=tx+xsint
t'x+t=t+sint
dtdxx=sint dtsint=dxx
Интегрируем обе части уравнения:
dtsint=lntg t2 dxx=lnx+lnC1
lntg t2 =lnx+lnC1 => tg t2=C1x t2=arctg C1x t=2arctg C1x
zx=2arctg C1x z=2x∙arctg C1x
y'=z => y=2x∙arctg C1xdx
Применим формулу интегрирования по частям:
u=arctg C1x dv=2xdx
du=C11+C12x2dx v=x2
2x∙arctg C1xdx=x2∙arctg C1x-C1x21+C12x2dx=
=x2∙arctg C1x-1C1C12x2+1-11+C12x2dx=x2∙arctg C1x-1C1dx+1C1dx1+C12x2=
=x2∙arctg C1x-xC1+1C12d(C1x)1+C12x2=x2∙arctg C1x-xC1+1C12∙arctg C1x+C2=
=x2+1C12∙arctg C1x-xC1+C2