Определить вид и расположение поверхностей, заданных относительно декартовой прямоугольной системы координат уравнениями: x2+y2+5z2-6xy+2xz-2yz-4x+8y-12z+14=0.

Определить вид и расположение поверхностей, заданных относительно декартовой прямоугольной системы координат уравнениями: x2+y2+5z2-6xy+2xz-2yz-4x+8y-12z+14=0.

A=1-31-2-31-141-15-6-24-614
Вычисляем инварианты поверхности:
I1=1+1+5=7, I2=1-3-31+1-1-15+1115=-8+4+4=0,
I3=1-31-31-11-15=-36, I4=1-31-2-31-141-15-6-24-614=-216.
Используя теорему 5.3 определяем, что данное уравнение определяет двуполостный гиперболоид, т.е. является поверхностью первой группы. Используем алгоритм нахождения канонического уравнения и канонической системы координат для поверхностей первой группы.
Составляем характеристическое уравнение
λ3-I1λ2+I2λ-I3=0⇔λ3-7λ2+0λ--36=0⇔λ3-7λ2+36=0
и находим его корни λ1=3, λ2=6, λ3=-2.
Записываем каноническое уравнение этой поверхности
3X2+6Y2-2Z2+-216-36=0⇔X22+Y21-Z212=-1.
Каноническая система координат O',i',j',k' определятся следующим образом: O'- центр данной поверхности, векторы координатных осей имеют главные направления, отвечающие соответствующим корням характеристического уравнения.
Находим единственный центр данной поверхности, как решение следующей системы линейных уравнений:
x-3y+z-2=0-3x+y-z+4=0x-y+5z-6=0⇔x-3y+z-2=0-8y+2z-2=02y+4z-4=0⇔x-3y+z-2=0y+2z-2=0-4y+z-1=0
⇔x-3y+z-2=0y+2z-2=09z-9=0⇔x=1y=0z=1⇒O'1;0;1.
Находим главное направление α1;β1;γ1 отвечающее корню λ1=3