Определите оптимальные объемы использования труда и капитала, и максимально возможный выпуск при общих затратах

Определите оптимальные объемы использования труда и капитала, и максимально возможный выпуск при общих затратах фирмы: 100 тысяч у.е.200 тысяч у.е.300 тысяч у.е.400 тысяч у.е. 500 тысяч у.е.600 тысяч у.е.700 тысяч у.е.800 тысяч у.е. 900 тысяч у.е.1000 тысяч у.е.

А. APL = (19100 + K) – (L – 91)2 = 19100 + К – L2 + 182L – 8281 = 10819 + K – L2 + 182L.
Общий продукт TP (или Q) равен:
Q = APL*L = (10819 + K – L2 + 182L)*L = 10819L + KL – L3 + 182L2.
Подставим значения w и r в функцию совокупных затрат долгосрочного периода:
TC = wL + rK = 1000L + 100K, отсюда выразим К:
К = (ТС – 1000L)/100 = 0,01TC – 10L.
Подставим это выражение в производственную функцию:
Q = 10819L + KL – L3 + 182L2 = 10819L + (0,01TC – 10L)L – L3 + 182L2 = 10819L + 0,01TC*L – 10L2 – L3 + 182L2 = (10819 + 0,01TC)L – L3 + 172L2.
Определим, при каких величинах L выпуск будет максимальным. Для этого определим:
dQ/dL = d((10819 + 0,01TC)L – L3 + 172L2)/dL = (10819 + 0,01TC) – 3L2 + 344L.
Приравняем эту функцию нулю:
– 3L2 + 344L + (10819 + 0,01TC) = 0
3L2 – 344L – (10819 + 0,01TC) = 0
L=344±3442+4*3*(10819+0,01TC)2*3=344±248164+0,12TC6
Корни уравнения L1 = 344-248164+0,12TC6 и L2 = 344+248164+0,12TC6
Поскольку функция выпуска имеет вид Q = – L3 + 172L2 + (10819 + 0,01TC)L, т.е. она сначала убывает, потом возрастает и потом снова убывает, то критические точки L1 и L2 являются соответственно точками минимума и максимума выпуска

. Поскольку нас интересует максимизация выпуска при заданных значениях, то мы рассматриваем как решение корень уравнения L2.
Таким образом, L = 344+248164+0,12TC6.
Определим объемы труда, капитала и выпуска для каждого уровня совокупных затрат:
LТС = 100000
L = 344+248164+0,12*1000006 ~ 142,34.
K = 0,01*100000 – 10*142,34 = -423,4.
Поскольку K<0, необходимо изменить параметр А на А/2 = 19100/2 = 9550 и В на В/2~45.
Тогда APL = (9550 + K) – (L – 45)2 = 9550 + К – L2 + 90L – 2025 = 7525 + K – L2 + 90L.
Общий продукт TP (или Q) равен:
Q = APL*L = 7525L + KL – L3 + 90L2.
Подставим выражение К = 0,01TC – 10L в производственную функцию:
Q = 7525L + (0,01TC – 10L)L – L3 + 90L2 = 7525L + 0,01TC*L – 10L2 – L3 + 90L2 = (7525 + 0,01TC)L – L3 + 80L2.
dQ/dL = d((7525 + 0,01TC)L – L3 + 80L2)/dL = (7525 + 0,01TC) – 3L2 + 160L.
Приравняем эту функцию нулю:
– 3L2 + 160L + (7525 + 0,01TC) = 0
3L2 – 160L – (7525 + 0,01TC) = 0
L=160±1602+4*3*(7525+0,01TC)2*3=160±115900+0,12TC6
Как было определено выше, мы рассматриваем как решение корень уравнения L2.
Таким образом, L = 160+115900+0,12TC6.
Определим оптимальные объемы труда, капитала и выпуска для каждого уровня совокупных затрат:
LТС = 100000
L = 160+115900+0,12*1000006 ~ 86,3.
K = 0,01*100000 – 10*86,3 = 137.
Q = 86,3*(9550 + 137 – (86,3 – 45)2) = 688787,1
LТС = 200000
L = 160+115900+0,12*2000006 ~ 89.
K = 0,01*100000 – 10*89 = 1110.
Q = 776436
LТС = 300000
L = 160+115900+0,12*3000006 ~ 91,6.
K = 2083,8.
Q = 866759,6
Аналогичным образом находим L, K и Q для всех уровней издержек ТС