Показать, что электрическое поле образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле:

Показать, что электрическое поле образованное заряженным диском, в предельных случаях переходит в электрическое поле: а) бесконечно протяженной плоскости; б) точечного заряда.

Рассмотрим электрический потенциал и поле вблизи равномерно заряженного диска. Плоский диск радиусом a заряжен положительно, причем заряд распределен по его поверхности с постоянной плотностью σ. Следовательно, полный заряд системы равен σπa2. Определим потенциал в некоторой точке P1 на оси симметрии, в нашем случае на оси y. Все элементы заряда в тонком кольцевом сегменте диска расположены на одинаковом расстоянии от точки P1 . Если s обозначает радиус такого кольцевого сегмента, а ds- его ширину, то площадь сегмента равна 2πsds. Расположенное в нем количество заряда dq равно, следовательно:
dq=σ2πsds
Все элементы такого кольца находятся на одинаковом расстоянии от точки P1, а именно r=y2+s2r, так что вклад кольца в потенциал в точке P1 равен kdqr, или kσ2πsdsy2+s2

. Если s обозначает радиус такого кольцевого сегмента, а ds- его ширину, то площадь сегмента равна 2πsds. Расположенное в нем количество заряда dq равно, следовательно:
dq=σ2πsds
Все элементы такого кольца находятся на одинаковом расстоянии от точки P1, а именно r=y2+s2r, так что вклад кольца в потенциал в точке P1 равен kdqr, или kσ2πsdsy2+s2