Полубесконечное тело, ограниченное плоскостью x=0, имеет заданное начальное распределение температуры Tτ=0=T0. Найти последующее распределение

Полубесконечное тело, ограниченное плоскостью x=0, имеет заданное начальное распределение температуры Tτ=0=T0. Найти последующее распределение температуры, считая, что с момента τ=0 его граница поддерживается при нулевой температуре. ∂2T∂x2-∂T∂τ=0, x>0, (1) Tx→ +∞ ограничено (2) Tτ→+∞ ограничено (3) Tx=0=0. (4) Tτ=0=φx=T0. (5)

Сведем задачу к задаче заданной на всем интервале -∞<x<+∞. Учитывая, что при x=0 задано граничное условие первого рода (4), продолжим функцию φx нечетным образом на отрицательные значения x<0
φx=φx, при x≥0-φ-x, при x<0= T0 при x>0-T0 при x<0
и рассмотрим задачу для следующего одномерного уравнения теплопроводности
∂2T∂x2-∂T∂τ=0, -∞<x<+∞,
(6)
Tx→ ±∞ ограничено
(7)
Tτ→+∞ ограничено
(8)
Tτ=0=φx= T0 при x>0-T0 при x<0.
(9)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
Tx,τ=Xx∙Fτ.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (6)
X''x∙Fτ-Xx∙F'(τ)=0
Разделим равенство на Xx∙Fτ, получим
X''(x)X(x)-F'τF(τ)=0,
X''(x)X(x)=F'τF(τ)=λ=const,
т.к

. левая часть равенства зависит только от x, а правая – только от τ.
В результате переменные разделяются, и получаются два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''x-λXx=0,
(10)
F'τ-λF(τ)=0.
(11)
Решение уравнения (11) имеет вид
Fτ=C1eλτ.
По физическому смыслу решение должно быть ограниченным при τ→ +∞, из условия (8) имеем
Fτ→ +∞ ограничено.
Fτ→ +∞=limτ→ +∞C1eλτ -ограничено
Откуда следует, что должно быть λ<0. Обозначим λ=-ν2, ν∈(-∞;+∞).
Тогда
Fντ=C1(ν)e-ν2τ
Уравнение (10) примет вид
X''x+ν2Xx=0.
Его решение
Xνx=C2νcosνx+D2νsinνx.
(12)
Случай ν=0 дает X0x=C0+D0x, для ограниченности, условие (7), должно быть D0=0. Тогда X0x=C0 − входит как частный случай в (12)
X0x=C20cos0+D20sin0=C20.
Решение задачи (6) − (9) будем искать в виде интеграла по собственным функциям
Tx,τ=-∞+∞XνxFντdτ=-∞+∞C2νcosνx+D2νsinνxC1νe-ν2τdν.
Tx,τ=-∞+∞Cνcosνx+Dνsinνxe-ν2τdν.
(13)
где Cν=C1νC2ν, Dν=D1νC2ν.
Подставляем решение в таком виде в начальное условие (9)
Tτ=0=-∞+∞Cνcosνx+Dνsinνxdν=φ(x).
Функции φ(x) нечетная, поэтому Cν=0, тогда
Tx,τ=-∞+∞Dνsinνxe-ν2τdν,
-∞+∞Dνsinνxdν=φ(x).
Отсюда
Dν=12π-∞+∞φξsinνξdξ=12π--∞0T0sinνξdξ+0+∞T0sinνξdξ=
=1π0+∞T0sinνξdξ
Таким образом,
Tx,τ=1π-∞+∞0+∞T0sinνξdξsinνxe-ν2τdν=
=2T0π0+∞0+∞sinνξsinνxe-ν2τdνIdξ
Посчитаем внутренний интеграл
I=0+∞sinνξsinνxe-ν2τdν=120+∞cosνx-ξ-cosνx+ξe-ν2τdν=
=120+∞cosνx-ξe-ν2τdνI1-120+∞cosνx-ξe-ν2τdνI2
Посчитаем эти интегралы по отдельности.
Используем табличный интеграл
0+∞cosbze-z22dz=π2e-b22
I1=0+∞cosνx-ξe-ν2τdν=заменаν=z2τdν=dz2τ=12τ0+∞coszx-ξ2τe-z22dz=
=12πτe-x-ξ24τ
Аналогично,
I2=0+∞cosνx+ξe-ν2τdν=12πτe-x+ξ24τ.
I=12I1-12I2=14πτe-x-ξ24τ-e-x+ξ24τ
Тогда
Tx,τ=2T0π0+∞14π2τe-x-ξ24τ-e-x+ξ24τdξ=T02πτ0+∞e-x-ξ24τ-e-x+ξ24τdξ
Вычислим интеграл
T02πτ0+∞e-x-ξ24τdξ=заменаξ=x+2τηdξ=2τdη=T02πτ-x2τ+∞e-η22τdη=T0π-x2τ+∞e-η2dη
Аналогично
T02πτ0+∞e-x+ξ24τdξ=T0πx2τ+∞e-η2dη
Тогда искомая функция равна
Tx,τ=T0π-x2τ+∞e-η2dη-T0πx2τ+∞e-η2dη=T0π-x2τx2τe-η2dη=2T0π0x2τe-η2dη.
Используя интеграл вероятности (функцию ошибок)
Φx=2π0xe-y2dy
ответ можно записать как
Tx,τ=T0Φx2τ.
Ответ:
Tx,τ=T0Φx2τ.