Полуограниченная струна 0≤x≤+∞ с закрепленным концом x=0 получает в момент t=0 поперечный удар, передающий

Полуограниченная струна 0≤x≤+∞ с закрепленным концом x=0 получает в момент t=0 поперечный удар, передающий струне импульс I на участке 0≤x≤2l, причем профиль распределения скорости, получаемый при ударе, имеет в момент t=0 форму полуволны синусоиды с основанием 0≤x≤2l. Найти формулы, представляющие закон движения точек струны с различными абсциссами x при t>0.

Имеем следующую задачу для волнового уравнения на полупрямой
utt=a2uxx, x>0, t>0,
u0,t=0, t>0,
ux,0=φx=0, utx,0=ψx=Asinπx2l, 0≤x≤2l,0, 2l≤x<+∞..
Найдем значение коэффициента A в начальном условии. Если струне передан удельный импульс I (считаем, что импульс передан в положительном направлении оси u), то
I=02lψxdx=02lAsinπx2ldx=-A∙2lπcosπx2l02l=A∙4lπ, ⟹A=Iπ4l.
Поскольку граничное условие при x=0 первого рода (задано нулевое значение самой функции), то продолжим начальные условия нечетным образом на всю ось -∞<x<∞, т.е. рассмотрим следующую задачу Коши
utt=a2uxx, , -∞<x<+∞, t>0,
ux,0=Φx=0, utx,0=Ψx, -∞<x<+∞,
где
Ψx=φx, x>0-φ-x, x<0
Следовательно,
Ψx=Iπ4lsinπx2l, x≤2l,0, x>2l.
Воспользуемся формулой Даламбера для решения волнового уравнения на прямой -∞<x<+∞,
ux,t=12Φx+at+Φx-at+12ax-atx+atΨsds.
В нашем случае, a=1, Φx=0, поэтому решение будет
ux,t=12ax-atx+atΨsds.
Обозначим через F(y) первообразную функции Ψs2a
Fy=12a-2lyΨsds=0, при y<-2l,12a-2lyIπ4lsinπs2lds, при -2l≤y≤2l,12a-2l2lIπ4lsinπs2lds, при 2l<y.=
=0, при y<-2l,-I4acosπy2l+1, при -2l≤y≤2l,0, при 2l<y.
В качестве нижнего предела взяли -2l, поскольку при x<-2l функция Ψx=0.
Тогда форму струны можно представить в виде
ux,t=Fx+at-Fx-at.
Следовательно, результирующая форма струны в момент времени t представляет сумму двух графиков Fx+at и -Fx-at, первый из которых − это график Fx смещен влево на расстояние at (волна распространяющаяся влево), а второй -Fx смещен вправо на at (волна распространяющаяся вправо)