Построить кривые второго порядка, приведя их уравнения к каноническому виду. Указать координаты вершин, фокусов.

Построить кривые второго порядка, приведя их уравнения к каноническому виду. Указать координаты вершин, фокусов. Написать уравнение директрисы и асимптот, если они есть. Вычислите эксцентриситет кривой. Сделать чертеж. 4x2 - y2 - 8x - 4y -16 = 0

Приведем уравнение кривой к каноническому виду, выделяя полные квадраты
4x2-y2-8x-4y-16=0
4x2-8x-y2+4y=16
4x2-2x-y2+4y=16
4x2-2x+1-4-y2+2∙2y+4+4=16
4x-12-y+22=16
4x-1216-y+2216=1616
x-124-y+2216=1
x-1222-y+2242=1
Полученное уравнение является уравнением гиперболы
с центром в точке 1;-2 и полуосями a=2;b=4
Для гиперболы
c2=a2+b2=22+42=4+16=20
c=20=4∙5=25≈4,47
Оси симметрии для кривой: x=1;y=-2
Значит, координаты вершин и фокусов гиперболы:
A11-a;-2=A11-2;-2=A1-1;-2;
A21+a;-2=A21+2;-2=A23;-2
F1c+1;-2=F14,47+1;-2=F15,47;-2;
F2-c+1;-2=F2-4,47+1;-2=F2-3,47;-2
Асимптотами гипербол являются две прямые:
y=±bax-1-2=±42x-1-2=±2x-1-2
y=2x-1-2=2x-2-2=2x-4;
y=-2x-1-2=-2x+2-2=-2x
Эксцентриситет гиперболы
ε=ca=252=5
Директрисы гиперболы
x-1=±aε;x=±25+1;x=25+1≈1,89;x=-25+1≈0,11
Сделаем чертеж
Ответ: A1-1;-2; A23;-2;F15,47;-2;F2-3,47;-2;
x=25+1;x=-25+1;y=2x-4;y=-2x