Построить линии уровня скалярного поля ; найти , убедиться, что вектор ортогонален соответствующей линии

Построить линии уровня скалярного поля ; найти , убедиться, что вектор ортогонален соответствующей линии уровня (касательной к линии уровня, проходящей через точку ). Найти производную скалярного поля в точке в направлении вектора . .

Уравнения линий уровня:
.
Таким образом, для заданного поля уравнения линий уровня примут вид:
.
Получили канонические уравнения эллипсов с полуосями с центром в начале координат. Изобразим несколько линий уровня при различных значениях :
На рисунке изображены линии уровня при ж; при этом линейные размеры эллипсов уменьшаются с ростом .
Найдем градиент заданного поля:
.
Вычисляем частные производные:
,
.
Таким образом, градиент в произвольной точке равен
.
Градиент в заданной точке равен
.
Определим уравнение линии уровня, проходящей через заданную точку . Пусть она соответствует значению константы , тогда
.
Значит, уравнение линии уровня, проходящей через точку , имеет следующий вид
.
Касательный вектор в точке к полученному эллипсу имеет координаты , где

. Пусть она соответствует значению константы , тогда
.
Значит, уравнение линии уровня, проходящей через точку , имеет следующий вид
.
Касательный вектор в точке к полученному эллипсу имеет координаты , где