Построить математическую модель СМО типа МКУ при заданных интенсивности вх. потока заявок λ =

Построить математическую модель СМО типа МКУ при заданных интенсивности вх. потока заявок λ = 2.5 заявки в минуту и времени обслуживания заявки Тобсл = 5 мин. По графу состояний своей схемы записать уравнения Колмогорова и решить задачу – записать в общем виде формулы для всех характеристик, а потом вычислить численные значения своей схемы. №п\п Кол-во каналов Ограничение длины очереди 16 5 9

Введем следующие обозначения для состояний системы: S0 – в системе нет заявок, S1-S5 – один-пять каналов соответственно заняты обслуживанием заявок, очередь ожидания пуста; S6-S14 – все каналы заняты обслуживанием заявок, в очереди ожидания находятся 1-9 заявок соответственно.
Граф состояний имеет вид:
Здесь λ=2,5 – интенсивность входного потока, а μ=1Tобсл=15 – интенсивность обслуживания.
Записываем систему уравнений Колмогорова:
-λP0+μP1=0
λP0-λ+μP1+2μP2=0
λP1-λ+2μP2+3μP3=0
λP2-λ+3μP3+4μP4=0
λP3-λ+4μP4+5μP5=0
λP4-λ+5μP5+5μP6=0
Для состояний с шестого по тринадцатое уравнения аналогичны:
λPk-1-λ+5μPk+5μPk+1=0,k=6,7,…,13
И для последнего состояния:
λP13-λ+5μP14=0
Систему уравнений дополняем нормировочным уравнением:
k=014Pk=1
Выражаем последовательно вероятности состояний системы через вероятность отсутствия заявок в системе:
-λP0+μP1=0 P1=λμP0=ρP0
λP0-λ+μP1+2μP2=0 P2=λ22μ2P0=ρ22!P0
λP1-λ+2μP2+3μP3=0 P3=λ36μ3P0=ρ33!P0
Аналогично по пятое состояние включительно:
Pk=ρkk!P0,k=0,1,…,5
Далее в системе появляется очередь:
λP4-λ+5μP5+5μP6=0 P6=ρ65∙5!P0
λP5-λ+5μP6+5μP7=0 P7=ρ752∙5!P0
Аналогично для всех остальных состояний:
P5+k=ρk5k∙5!P0,k=1,2,…,9
Находим сумму вероятностей состояний с 6 по 14 включительно как сумму ограниченной геометрической прогрессии со знаменателем q=ρ5:
k=19ρk5k∙5!P0=ρ5P05!∙ρ51-ρ9591-ρ5=ρ55!∙ρ5-ρ105101-ρ5∙P0
Учитывая условие нормировки iPi=1, находим вероятность отсутствия заявок в системе:
P0=1k=05ρkk!+ρ55!∙ρ5-ρ105101-ρ5
Используя найденную вероятность, однозначно определяются характеристики работы СМО.
Находим нагрузку на СМО:
ρ=λμ=λTобсл=2,5∙5=12,5
Тогда вероятность отсутствия заявок в СМО:
P0=1k=0512,5kk!+12,555!∙12,55-12,55101-12,55≈0,6185∙10-7
Находим вероятность наличия хотя бы одного свободного канала (заявка будет обслужена немедленно) – сумма вероятностей состояний S0-S4:
P00=P0k=0412,5kk!=0,6185∙10-7∙k=0412,5kk!≈0,8872∙10-4
А вероятность занятости всех каналов:
Pзан=1-P00=1-0,8872∙10-4≈0,9999
Т.е