Пусть вероятность pn того, что в семье n детей, равна αqn при n≥1, p0=1-αq(1+q+q2

Пусть вероятность pn того, что в семье n детей, равна αqn при n≥1, p0=1-αq(1+q+q2 + ...). Допустим, что все комбинации полов n детей равновероятны. Показать, что вероятность того, что в семье k мальчиков, равна 2αqk2-qk+1.

Вероятность того, что в семье k мальчиков, при условии, что в семье n детей, равна:
Pk | n=Сnk2n.
По формуле полной вероятности:
Pk=n=k∞pn∙Pk | n.
Pk=αn=k∞Сnkqn2n=αn=k∞Сnkq2n.
Имеем:
p0=1-αq1+q+q2 + …=1-αq1-q;
P0=p0∙P0 | 0+αn=1∞Сnkqn2n=1-αq1-q+P1;
Для k≥1:
Pk=αn=k∞Сnkqn2n=αn=k∞Сnkq2n.
Используем соотношение:
Сnk=Сn-1k+Сn-1k-1.
Pk=αn=k∞Сn-1kq2n+αn=k∞Сn-1k-1q2n=q2αn=k∞Сn-1kq2n-1+αn=k∞Сn-1k-1q2n-1=
=q2αn-1=k-1∞Сn-1kq2n-1+αn-1=k-1∞Сn-1k-1q2n-1=q2αn=k∞Сnkq2n+αn∞Сnk-1q2n=q2Pk+Pk-1;
Pk=q2Pk+Pk-1;
2Pk=qPk+qPk-1;
(2-q)Pk=qPk-1;
Pk=q2-qPk-1.
Получили геометрическую прогрессию со знаменателем q2-q.
Для k=1:
P1=αn=1∞Сn1q2n=αn=1∞nq2n=αn=1∞nxn, где x=q2.
Для суммы всех членов геометрической прогрессии при x<1 имеем:
n=0∞xn=1+x+x2+x3+…=11-x.
Продифференцировав по x, затем умножив на x, получим:
1+2x+3x2+4x3+…=11-x2.
x+2x2+3x3+4x4+…=n=1∞nxn=x1-x2.
Следовательно:
P1=αn=1∞nxn=αx1-x2=αq21-q22=αq22-q22=2αq2-q2;
Pk=P1∙q2-qk-1=2αq2-q2∙q2-qk-1=2αqk2-qk+1.
Что и требовалось доказать.