Составить математическую модель задачи, решить задачу графическим и симплекс-методом. Для изготовления шкафов и буфетов мебельная

Составить математическую модель задачи, решить задачу графическим и симплекс-методом. Для изготовления шкафов и буфетов мебельная фабрика использует древесину 4 видов D1 , D2 , D3 и D4 . Запасы древесины, нормы расхода древесины на производство единицы каждого вида изделия, а также прибыль от реализации единицы изделий приведены в таблице. Найти оптимальный план производства столов и шкафов, обеспечивающий максимальную прибыль.

Под планом производства будем понимать ответ на вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна. Ведем переменные задачи: пусть x1 - объем выпуска шкафов, x2 - объем выпуска буфетов. Тогда на выпуск одного шкафа будет израсходовано 0х1+4х2куб.м. сырья Д1, 4х1+х2куб.м. сырья Д2, 2х1+2х2куб.м. сырья Д3 и 1х1+4х2куб.м. сырья Д4. Суммарная прибыль составит 2х1+3х2 денежных единиц. Так как нельзя израсходовать сырья больше, чем имеется, то математическая модель задачи будет иметь вид:
система ограничений: 0x1+4x2≤1204x1+x2≤1602x1+2x2≤1201x1+4x2≤180
2) по смыслу задачи переменные x1 0; x2 0 (условие неотрицательности переменных);
3) целевая функция - суммарная прибыль от реализации изделий: z=2x1+3x2→max
Поскольку задача содержит две переменные, она допускает графическое решение.
Введем систему декартовых координат на плоскости x10x2 и построим области, описываемые системой ограничений

. Каждое из неравенств определяет полуплоскость с границей, задаваемой прямой. Множество решений системы есть пересечение полуплоскостей, представляющее собой выпуклый многоугольник или выпуклую незамкнутую многоугольную область. Выпишем соответствующие уравнения граничных прямых:
0x1+4x2=1204x1+1x2=1602x1+2x2=1201x1+4x2=180
Проведем на плоскости эти прямые
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи z= 2x1+3x2 → max.Построим прямую, отвечающую значению функции z = 2x1+3x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области