Струну длиной в точке на половине длины оттянули так, что она приняла форму равнобедренного

Струну длиной в точке на половине длины оттянули так, что она приняла форму равнобедренного треугольника высотой . В момент времени ее отпускают, и она начинает колебаться (значение параметра ). Найдите решение уравнения ее колебаний. Определите отношение амплитуд второй и третьей гармоники к амплитуде первой гармоники.

Считаем, что концы струны жестко закреплены, это дает нам краевые условия задачи:
.
Начальное отклонение равно
,
где график имеет такой вид:
Найдем аналитическое представление для начального отклонения. На отрезке график представляет собой отрезок, соединяющий точки и , значит,
.
На отрезке график представляет собой отрезок, соединяющий точки и , значит,
.
Итак,
Начальная скорость струны равна нулю:
.
Сам закон колебания описывается следующим волновым уравнением
.
Следовательно, получаем следующую задачу
Так как краевые условия однородные и первого рода, то искомое решение ищется в виде ряда
.
Подставим общее решение в волновое уравнение:
.
Получили ЛОДУ 2-го порядка, его общее решение:
.
Определим начальные условия для полученного общего решения.
Первое условие:
.
Вычислим интегралы отдельно:
,
.
Значит,
.
Используем второе условие:
.
Таким образом,
.
Искомый закон колебаний данной струны:
.
Амплитуда k-ой гармоники равна
.
Следовательно,
,
,
.
Следовательно,
.
Ответ: ;
.