5x2+12xy+10y2-6x+4y-1=0 Привести уравнение кривой 2 порядка к каноническому виду методом инвариантов. Найти координаты центра (для центральных

5x2+12xy+10y2-6x+4y-1=0 Привести уравнение кривой 2 порядка к каноническому виду методом инвариантов. Найти координаты центра (для центральных кривых) либо найти уравнение, задающее прямую центров (для кривых III типа) в исходной системе Oxy, либо доказать, что данная кривая центра не имеет. Для эллипса и гиперболы найти полуоси, для параболы – ее параметр p, для параллельных прямых – расстояние между ними, для пересекающихся прямых – угловой коэффициент любой из них в канонической системе координат.

На первом шаге из исходного уравнения находим коэффициенты A, B, C, D, E и F. Так как в общем виде уравнение имеет вид
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
то получаем коэффициенты: A=5, B=6, C=10, D=-3, E=2, F=-1.
Вычислим инварианты:
S=A+C=5+10=15
δ=ABBC=56610=5∙10-6∙6=50-36=14
∆=ABDBCEDEF=56-36102-32-1=5∙10∙-1+6∙2∙-3+-3∙6∙2-
--3∙10∙-3+2∙2∙5+6∙6∙-1=-122-74=-196
Инварианты найдены, составим и решим систему:
A1+C1=SA1C1=δA1C1F1=∆A1+C1=15A1C1=14A1C1F1=-196
Из последних двух уравнений просматривается значение коэффициента F1: поскольку A1C1=14, то, подставляя это произведение в 3-е уравнение, получаем:
14∙F1=-196 F1=-19614=-14
Из первого уравнения выражаем A1=15-C1 и подставляем во второе уравнение:
C115-C1=14
15C1-C12=14
C12-15C1+14=0
Решим квадратное уравнение:
D=-152-4∙1∙14=225-56=169
D=169=13
В результате получается два комплекта симметричных корней:
C1=15-132=22=1, то A1=15-1=14
C1=15+132=282=14, то A1=15-14=1
Подставляем первый вариант коэффициентов A1=14, C1=1, F1=-14 в уравнение A1x2+C1y2+F1=0:
14x2+y2-14=0
14x2+y2=14
14x214+y214=1
x21+y214=1
В итоге получаем эллипс с центром в точке Ox0;y0, с полуосями равными a=1 и b=14.
Теперь в уравнение A1x2+C1y2+F1=0 подставим второй набор корней A1=1, C1=14, F1=-14, в итоге получим x2+14y2-14=0